文章目录

• abstract
• 变限积分求导公式

• 例

abstract

• 利用微积分第一基本定理(变上限积分函数的导数性质)以及复合函数求导准则,定积分的分段积分性质,可以得到变限积分求导公式
• 公式的应用规则

变限积分求导公式

• 由变上限积分函数的导数性质:=(1)

• 根据复合函数求导公式:=
• 再由公式(1),得=(2),也可以写作=(2-1)

• 设(3)

• 其中上连续
• 可导函数的值域在上

• 则函数和的公共定义域上,式(1)的导数为:

• ==(4)

• =

• 称求导变量
• 称为积分变量
• 为被积函数
• 公式(4)要求被积函数是仅包含而不含,否则应当将提出积分号之外(相对于是常数)

• 推导:由定积分分段积分性质:==+,

• 由公式(2),得=,即得公式(4)

例

• 设具有连续导数,求

• 首先将求导变量移出被积函数==,对于式,是一个常数,因此=
• =-=-

• 注意到,我们将
• 因为求导变量对于积分变量t可以视为常数,因此利用定积分的性质,将其提取到积分号之外

• 对两边求导得到==