文章目录
- abstract
- 正弦函数
- 正弦型函数
- 转动相关概念
- 旋转角速度
- 转动周期
- 转动频率
- 初相
- 小结
- 余弦函数的图象与性质
- 性质
- 正切函数的图象和性质
- 由已知三角函数值求角
- 任意角范围内
- 反三角函数(限定范围内)
- 反正弦
- 反余弦
- 反正切
abstract
- 讨论
的图象性质,这些性质可以借助单位圆分析
:余弦曲线
:正弦曲线
:正切曲线
正弦线和正弦曲线 |
|
余弦曲线 |
|
正切线和正切曲线 |
正弦函数
,
是正弦函数,其中自变量
是弧度值
- 定义域:
- 值域:
- 当
,
时取得最小值
- 当
,
时取得最大值1
- 有界性:
- 奇偶性:奇函数
- 周期性:最小正周期为
- 单调性:
为递增区间;
为递减区间;
- 正弦函数刻画的是弧度
对应的正弦值
正弦型函数
,称为正弦型函数
- 相比于正弦函数
,
增加了两个影响函数的参数
(它们不是变量,而都是常数)
- 这个函数在物理应用中很常见,具有明显的物理意义
- 正弦型函数和仍可以用圆周运动来描述:
- 设直角坐标系中某点
绕着原点
以半径为
的圆轨迹作角速度为
- 设旋转前
的位置为
,且
是
的终边
- 经过
秒后,点
来到了新位置,且
是
的终边
- 容易算得
的坐标
关于时间
的函数关系
- 推导方式如下:
- 在直角坐标系
上,令角
的顶点为
坐标原点重合,
的始边与
轴正半轴重合
- 并以
为圆心构造单位圆,
与单位圆的交点的坐标为
- 而
也是
终边上的点,且
;则
的坐标
是
的坐标
的
倍:
,
- 对于终边
上的
点坐标为
- 这就得到了正弦型函数
转动相关概念
旋转角速度
- 坐标系内的点
绕点
在单位时间内旋转过的角的弧度数
转动周期
中,点
旋转一周所需要的时间为
,这个时间也称为转动周期
- 令
,设函数
的最小正周期为
,则
=
- 即
=
,即
=
- 所以
的周期为
,那么
=
,所以
- 此外,还可以从坐标的伸缩角度来得到转动周期计算公式
- 例:
,
时,在
内取得最大值1的极值点(满足
)分别是:
,
,
,
,
转动频率
- 一秒内,点
旋转的周数
=
,称为转动的频率
初相
- 角
也叫做初相
小结
- 转动周期(转动频率)只和
相关,而与
无关
越大,在一定区间内曲线波动的次数就越多,反之越少
余弦函数的图象与性质
- 我们可以通过诱导公式
=
得知,
的图象和
的图象相同
- 所以可以通过研究正弦型函数来研究余弦函数(正弦函数向左平移2个单位就可以得到余弦函数的图象)
- 此外,余弦型函数
可以转换为
性质
- 定义域和值域和周期同正弦函数
- 当且仅当
,
时,取得最小值
- 当且仅当
,
时,余弦函数取值得最大值1
- 奇偶性:偶函数
- 单调性:
,
时函数单调递减;
,
函数单调递增
正切函数的图象和性质
- 定义域:
,
- 值域:
- 在区间
内,当
且无限接近
时,
趋于无限大,记为
- 另一侧有
时
- 周期:
- 由
=
,所以
是
的一个周期
- 并且结合单位圆中的正弦线,容易说明最小正周期为
- 奇偶性:奇函数
- 单调性:
,
区间内函数单调增加
由已知三角函数值求角
任意角范围内
- 通常可以用单位圆来求解具有给定三角函数值对应的弧度角
- 例如:已知
,求
的可能取值
条件下
的取值
- 解:
- 由单位圆可知,
,
,
都满足
,
- 用集合表示为:
- 若
,由单位圆可知,
反三角函数(限定范围内)
- 已知三角函数值求角的过程的所建立的函数称为反三角函数
- 由于单射函数才有反函数,反三角函数根据限定三角函数内的一段单调区间定义出来
反正弦
- 一般地,对于正弦函数
,若已知函数值为
,那么
上由唯一的
值和它对应,记为
,(其中
,
)
- 例如:
,
,求
的问题可以表示为
反余弦
- 在区间
上符合条件
,
的求角
,记为
- 例
- 已知
,且
,求
的取值集合
- 由单位圆可知,解集为
- 用反余弦函数表示:
反正切
- 一般地,若
,且
,那么对每一个正切值
,在开区间
内,有且只有一个角
满足
,记为
,
- 例如
=