文章目录

• abstract
• 正弦函数
• 正弦型函数

• 转动相关概念

• 旋转角速度
• 转动周期
• 转动频率
• 初相
• 小结

• 余弦函数的图象与性质

• 性质

• 正切函数的图象和性质
• 由已知三角函数值求角

• 任意角范围内
• 反三角函数(限定范围内)

• 反正弦
• 反余弦
• 反正切

abstract

• 讨论的图象性质,这些性质可以借助单位圆分析

• :余弦曲线
• :正弦曲线
• :正切曲线

	正弦线和正弦曲线
	余弦曲线
	正切线和正切曲线

正弦函数

• ,是正弦函数,其中自变量是弧度值

• 定义域:
• 值域:

• 当,时取得最小值
• 当,时取得最大值1

• 有界性:
• 奇偶性:奇函数
• 周期性:最小正周期为
• 单调性:为递增区间;为递减区间;

• 正弦函数刻画的是弧度对应的正弦值

正弦型函数

• ,称为正弦型函数
• 相比于正弦函数,增加了两个影响函数的参数(它们不是变量,而都是常数)
• 这个函数在物理应用中很常见,具有明显的物理意义
• 正弦型函数和仍可以用圆周运动来描述:

• 设直角坐标系中某点绕着原点以半径为的圆轨迹作角速度为
• 设旋转前的位置为,且是的终边
• 经过秒后,点来到了新位置,且是的终边
• 容易算得的坐标关于时间的函数关系

• 
• 
• 推导方式如下:

• 在直角坐标系上,令角的顶点为坐标原点重合,的始边与轴正半轴重合
• 并以为圆心构造单位圆,与单位圆的交点的坐标为
• 而也是终边上的点,且;则的坐标是的坐标的倍:,
• 对于终边上的点坐标为

• 这就得到了正弦型函数

转动相关概念

旋转角速度

• 坐标系内的点绕点在单位时间内旋转过的角的弧度数

转动周期

• 中,点旋转一周所需要的时间为,这个时间也称为转动周期

• 令,设函数的最小正周期为,则=
• 即=,即=
• 所以
• 的周期为,那么=,所以

• 此外,还可以从坐标的伸缩角度来得到转动周期计算公式
• 例:,时,在内取得最大值1的极值点(满足)分别是:,,,,

转动频率

• 一秒内,点旋转的周数=,称为转动的频率

初相

• 角也叫做初相

小结

• 转动周期(转动频率)只和相关,而与无关
• 越大,在一定区间内曲线波动的次数就越多,反之越少

余弦函数的图象与性质

• 我们可以通过诱导公式=得知,的图象和的图象相同
• 所以可以通过研究正弦型函数来研究余弦函数(正弦函数向左平移2个单位就可以得到余弦函数的图象)
• 此外,余弦型函数可以转换为

性质

• 定义域和值域和周期同正弦函数

• 当且仅当,时,取得最小值
• 当且仅当,时,余弦函数取值得最大值1

• 奇偶性:偶函数
• 单调性:,时函数单调递减;,函数单调递增

正切函数的图象和性质

• 定义域:,
• 值域:

• 在区间内,当且无限接近时,趋于无限大,记为
• 另一侧有时

• 周期:

• 由=,所以是的一个周期
• 并且结合单位圆中的正弦线,容易说明最小正周期为

• 奇偶性:奇函数
• 单调性:,区间内函数单调增加

由已知三角函数值求角

任意角范围内

• 通常可以用单位圆来求解具有给定三角函数值对应的弧度角
• 例如:已知,求

• 的可能取值
• 条件下的取值

• 解:

• 由单位圆可知,,,都满足,

• 用集合表示为:

• 若,由单位圆可知,

反三角函数(限定范围内)

• 已知三角函数值求角的过程的所建立的函数称为反三角函数
• 由于单射函数才有反函数,反三角函数根据限定三角函数内的一段单调区间定义出来

反正弦

• 一般地,对于正弦函数,若已知函数值为,那么上由唯一的值和它对应,记为,(其中,)
• 例如:,,求的问题可以表示为

反余弦

• 在区间上符合条件,的求角,记为
• 例

1. 
2. 已知,且,求的取值集合

• 由单位圆可知,解集为
• 用反余弦函数表示:

反正切

• 一般地,若,且,那么对每一个正切值,在开区间内,有且只有一个角满足,记为,
• 例如=