文章目录

• 引力(`*`)

• 分析
• 两质点间的引力公式
• 三重积分计算引力
• 薄片情形
• 计算

• 例

引力(*)

• 这里讨论的是:空间一物体对于物体外一点处单位质量的质点的引力

分析

• 仍然使用元素法,

• 设占有空间有界闭区域,在点处的密度(体密度)为,并假定在上连续;
• 在物体内任意取一直径很小的闭区域,其体积也记为
• 是这一小块闭区域上的一个点,因为的直径很小,且在上连续,所以这一小块物体的质量近似看作集中在点上

两质点间的引力公式

• 设空间中两质点与,质量分别为,两点间距离为==(1)
• 则对的引力大小为=(2)
• 力是向量,这里的方向为=(3),该方向的方向余弦为=,,(4)
• 从而===(5)

• 其中=(5-1)

• 这就是质点,对质点的引力(注意力是区分方向的,谁对谁的引力要区分清楚)

• 准确表示点对的吸引可以表示为
• 如果是对的引力方向相反,上述公式要取一个负号)

• 特别的,若质点是单位质量,则公式变为=(6)

三重积分计算引力

• 并由两质点间的引力公式,可得元素对应的小块物体对位于处的单位质量质点的引力近似为

• ==(7)

• 为引力元素在三个坐标轴上的分量
• =,表示区域内点与的距离
• 为引力常数

• 对在上分别积分,得

• ==(8)

薄片情形

• 对于薄片情形,将换为(体密度换为面密度),三重积分换为二重积分即可得到相应公式

• ==(8-1)

计算

• 条件允许时,将坐标系建立在合适的位置比较容易计算
• 例如让轴经过外的质点的,使得的坐标表示得简单:例如

例

• 求半径为均匀球,对于点,的单位质量质点的引力
• 将力分解到三个坐标轴上,考虑到球的对称性,任一点都有与其对应的关于轴对称的点,这使得引力仅剩轴方向的分量不会被抵消,则(0)
• ==(1)

• =;(2)利用先二后一的顺序积分
• =(3)
• =,(4)

• 观察发现,其中可以先算出结果,为
• 而中视为常数部分,因为这是对的定积分;应用第一类换元法,容易积出==

• 注意到,所以=

• =(5)
• ==(6)

• 记其中==(7)

• 这里用到或

• 再利用分部积分==(8)

• ==(8-1)
• ===(8-2)
• =

• =
• =
• ==(8-3)
• 注意这里==(8-4)而不是,这两个正负就不一样
• 虽然==,但是=结果是非负的
• 因此,虽然或者写成都是正确的有意义的,但是计算的结果是=,一定要加绝对值(除非提前知道是正数)
• 本例中,所以=

• 将(8-1),(8-3)代入式(8),得==(8-5)

• 将式(8-5)代入式(6),得==(9)

• 若令=(即球体的质量(体积乘以密度的结果))
• 则=(9-1)

• 综上,==
• 小结:有一定计算量,特别是式(8-4)在计算过程中要注意