文章目录

• abstract
• 典型曲线

• 心形线
• 玫瑰线
• 阿基米德螺线
• 伯努利双扭线

abstract

• 除了圆和圆锥曲线外,还有许多曲线用极坐标描述会简单得多

典型曲线

• 分析下列曲线时,线分析是否含有三角函数(周期性)
• 利用描点法做出单个周期内的图形
• 作图:可以打开geogebra

• https://www.geogebra.org/calculator/fds4duvm

心形线

• =,

• 周期=
• 奇偶性:偶函数,图形关于极轴对称,同时位于图形上
• 综上,只要考虑上的图形,就可以通过翻折图形,的到整个周期的图形
• 而在上,是从的递减函数,前半程是凸函数,后半程是凹函数;

• 从而从是一个递增的过程,因此从

玫瑰线

• =,

• 周期为,作图时考虑内的区间;根据周期性,就可以直接得到以及内的图形

• 通过描点可以发现,该图形在内会产生2片叶子;若将其放直角坐标系上,极点和极轴正方向分别和直角坐标系重合,则第一片叶子落在区间;第二片叶子落在;每片叶子占据的弧度,从顺时针的角度看,两片叶子相距,从顺时针看,两片叶子相距

阿基米德螺线

• ,

• 这个曲线的极坐标方程形式很简单,一个常系数和极角的乘积
• 随着的增大而增大

伯努利双扭线

• 有两种常见形式:

1. =,
2. =,

• 分析

• 定义域:

• 考虑到,,则对于形式1,2分别要求

• 以形式(2)为例,,从而,即
• 容易发现图形是不连续的某些区间上没有定义

• 周期性:
• 奇偶性:

• 形式(1)是偶函数,图形关于极轴对称
• 形式(2)是奇函数,图形关于极点对称

• 两种形式的关系:=;则=,即=,

• 这意味着将图形(2)往负角方向旋转,即顺时针旋转,就能得到图形(1)
• 这和直角坐标系上的图形的是往轴负方向移动类似(“负加正减,负向移动加,正向移动间”)

• 以形式(2)为例分析

• 考虑到周期为,我们研究内即可,又考虑到定义域,因此我们在上研究
• 为了描点,将方程(2)变形为=

• 从单调性分析:在上的变化为:递增,上递减;相应的,区间,上分别递增和递减,这就是的变换规律