文章目录

• abstract
• 旋转曲面👺

• 基本概念

• 旋转情况分类
• 例

• 旋转曲面的方程👺

• 研究思路
• 推导过程
• 小结

• 常见旋转曲面方程

• 双曲面

• 单叶双曲面
• 双叶双曲面
• 双曲抛物面(马鞍面)

• 锥面👺

abstract

• 使用截痕法分析曲面形状

• 旋转曲面方程及其特点

• 伸缩变形法另见它文:

• 空间曲面@曲面分析方法@常见曲面方程@球面@柱面@二次曲面分类和汇总

旋转曲面👺

基本概念

• 以一条平面曲线绕其平面上的一定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面
• 旋转曲线称为旋转曲面的母线,定直线称为旋转曲面的轴
• 平面曲线(绕坐标轴)旋转类曲面的共同特点是可以利用几何关系:曲线上的各点在旋转过程中旋转半径恒定
• 某个点的相对于其旋转轴的距离(旋转半径)的计算可以使用2点坐标的距离公式计算
• 为了建立旋转后的点所满足的方程(面由点构成,因此曲面上的点满足的方程也是旋转曲线后构成的曲面的方程)

• 设曲线C若属于某个坐标面,该平面包含的两个坐标轴记为,另一个轴是该平面的法线方向,记为
• 设已知曲线上的点坐标满足曲线方程(曲线方程仅包含变量,因为在坐标面上是恒定的)
• 将旋转后的点的坐标记为,其中,在旋转轴坐标轴上的坐标分量和的相同,记为,其中函数表示计算点在轴上的坐标分量(即投影),可以类似地定义分别表示点M在轴上的投影

旋转情况分类

• 绕轴旋转

• 坐标面上曲线C:上的点在旋转过程中的轨迹所在平面和平行
• 根据勾股定理,可以确定在非旋转轴2个坐标轴上的坐标的关系为:平方和相等,记为
• 设曲线属于平面,从而,即仅根据这个关系,我们还无法得到能够完整描述的各个坐标分量的关系(方程),需要借助曲线的方程

• 由于点在上,成立
• 
• ,即
• 方程,得到,也就是关于点的三个坐标分量的关系方程(作为旋转曲面的方程)

• 类似的,可以讨论绕轴旋转的情况

例

• 以yOz上的曲线绕轴旋转为例
• 设在坐标面上有曲线
• 把绕轴旋转一周,得到一个以轴为轴的旋转曲面,它的方程的构造:

• 设是曲线上的一点(位于坐标面),有成立
• 当绕轴旋转时,点绕轴转到另一点
• 此时
• 同时点,到轴的距离,,此时
• 将带入到,即

旋转曲面的方程👺

研究思路

• 曲面方程就是描述曲面上所有点的坐标满足的关系式(方程式)

• 因此,我们可以任意取曲面上的某个点进行研究,得到关于的方程

• 旋转曲面由其母线和旋转轴唯一确定,因此旋转曲面的方程和母线方程有密切联系

• 我们考虑将旋转曲面上的任意点和母线上的某点联系起来,利用母线上的点满足母线方程的事实来得到曲面方程
• 即,可以通过研究旋转曲面的母线上的任意一点在旋转过程中形成的轨迹方程来得到旋转曲面的方程

推导过程

• 以平面(即平面)上的曲线绕轴旋转一周得到的旋转曲面方程推导为例

• 设是旋转曲面上的任意一点,该曲面由坐标面上的曲线作为旋转母线绕轴旋转一周得到的,设的方程为(0)
• 显然,点可看作是由曲线上的某点(0-1)旋转得到

• 具有相同的轴坐标,即(1),并且是面(即平面)上的点,因此的轴坐标为0,因此这里直接设
• 另一方面,在面上的投影坐标为由旋转关系可知,=(2),即(2-1)
• 而满足曲线的方程,即(3),将式(1,2-1)代入(3),得(1),此方程描述了旋转曲面上任意点满足的方程,即旋转曲面的方程

• 类似的,若旋转曲面是曲线绕着轴旋转,得到的旋转曲面方程为(2)

小结

• 方程公式(1,2)都包含了三个变量
• 以平面(即坐标面)内曲线方程(1);例

• 以轴为旋转轴时,公式(1)中字母(称为转轴字母)就保持不变,而把另一个字母替换为转轴字母以外的两个字母的平方和开根号,对于(1)式就是将字母替换为根式=,记为替换(这里用表示方程(1)中转轴字母外的字母,即,这就得到这一旋转面公式
• 若绕着轴旋转,则类似的替换:

• 其他坐标面上的图形绕轴旋转的公式情形类似,将上述公式整理并补充如下

• 面内的曲线,绕轴旋转:;绕轴旋转:
• 面内的曲线绕轴旋转:=0;绕轴旋转:=0
• 面内的曲线绕轴旋转:;绕轴旋转:

常见旋转曲面方程

• 面上抛物线(1)绕轴旋转所成的曲面方程为(1-1),这类曲线称为旋转抛物面
• 面上椭圆线(2)绕轴旋转所成的曲面方程为,(2-1),这类曲线称为旋转椭圆面
• 面上双曲线(3)绕轴,轴旋转所成的曲面方程分别为(3-1),(3-2),这两类曲线分别称为旋转单叶双曲面,旋转双叶双曲面

双曲面

单叶双曲面

• 方程(3-1)也写作:,
• 更一般的单叶双曲面(4)(当时是绕轴的旋转面,类似可以写出其他轴的情形)

• 将(4)变形为:=(4-1)
• 利用截面去截(4),若式(4)中若,可得截面方程为椭圆,若,则截得一个圆(此时式(4)是旋转单叶双曲面)

• (4-1)两边同时除以,得到椭圆标准式

• 利用截面,截方程(4),得到的都是双曲线的方程

• 以为例,得到,(当也是双曲线)

双叶双曲面

• 形如:(5)或写成(5-1)(当时是绕轴旋转面)
• 将(5-1)变形为=(5-2)
• 首先分析自变量取值范围

• 式(5-2)左端为非负的,所以右端非负,即,从而,即
• 这意味着区间内曲面没有定义
• 而用范围内的去截取(5-2),

• 若,则得到的方程是椭圆方程
• 若,则得到圆,此时方程(5)是旋转曲面

• 用或截得的截痕方程都是双曲线
• 综上,这就容易勾勒出双叶双曲面的空间图形

双曲抛物面(马鞍面)

• 形如(6)

• 分别用,,去截曲面(6)
• 截痕分别为双曲线,抛物线(开口朝轴负方向),抛物线(开口朝轴正方向)

锥面👺

• 移动直线,使它始终通过点且始终与定曲线相交,这样由所生成的曲面叫做锥面
• 特征:顶点与曲面上任意其他点的连线都在曲面上,若顶点在原点,则顶点与锥面上一点的连线直线方程的参数方程可知,上任意点可以表示为,可以为任意实数
• 因此若满足,则也满足
• 例如,令=,方程

• 容易验证===0

• 构造锥面(二次曲线)

• =(1),=
• 若,则=0,因此形如的方程都是锥面
• 例如==;

• 锥面的截面图形

• 用平面去截锥面,可得,即或,这在坐标面(即平面)上表现为过原点的直线,并且两条直线关于轴对称
• 类似的去截锥面由类似效果