二重积分一般计算步骤-摩杜云开发者社区

文章目录

二重积分一般计算步骤_区域分割

二重积分计算的一般步骤

分析积分区域草图

绘制积分区域D的草图,并考虑多元函数奇偶性的角度化简计算

讨论奇偶性函数的判断必然蕴含某个区间(区域)内函数是关于某个轴对称的前提条件
先定义域区域对称,然后才有函数对称

积分区域对称性

判断积分区域是否具有对称性

如果积分区域不对称,那么纵然被积函数是再怎么对称也没用

区域分割

有时原始的积分区域不对称,但是可能可以通过划分区域,得到多个关于不同坐标轴分别对称的子区域

这时候就可以再次尝试考虑被积分函数的奇偶性化简计算

可以简化计算的两类情况👺

利用对称性和奇偶性计算

被积区域的对称性,且被积函数奇偶性时有如下结论

若积分区域 $二重积分一般计算步骤_区域分割_02$ 关于 $二重积分一般计算步骤_二重积分_03$ 轴对称,且被积函数 $二重积分一般计算步骤_二重积分_04$ 关于 $二重积分一般计算步骤_二重积分_05$ 有奇偶性,则

$二重积分一般计算步骤_二重积分_06$ = $二重积分一般计算步骤_二重积分_07$ ,

$二重积分一般计算步骤_定义域_08$ = $二重积分一般计算步骤_定义域_09$

$二重积分一般计算步骤_坐标轴_10$ ,

$二重积分一般计算步骤_定义域_08$ = $二重积分一般计算步骤_坐标轴_12$

其中 $二重积分一般计算步骤_定义域_13$ 为 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_14$ 在 $二重积分一般计算步骤_二重积分_15$ 轴右侧的部分

若积分区域 $二重积分一般计算步骤_区域分割_02$ 关于 $二重积分一般计算步骤_二重积分_05$ 轴对称,且被积函数 $二重积分一般计算步骤_二重积分_04$ 关于 $二重积分一般计算步骤_二重积分_03$ 有奇偶性,则

$二重积分一般计算步骤_二重积分_06$ = $二重积分一般计算步骤_二重积分_07$ ,

$二重积分一般计算步骤_二重积分_22$ = $二重积分一般计算步骤_定义域_09$

$二重积分一般计算步骤_坐标轴_10$ ,

$二重积分一般计算步骤_二重积分_22$ = $二重积分一般计算步骤_坐标轴_12$

其中 $二重积分一般计算步骤_定义域_13$ 为 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_14$ 在 $二重积分一般计算步骤_二重积分_15$ 轴右侧的部分

可见,若被积函数是奇函数,可以大为化简计算,但是被积函数为偶函数时,化简效果就不那么好,但是某些情形下可以将原本要分段积分的式子合并成一个式子,在乘以2,例如后面的例6提到的积分区间:双曲线 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_30$ 部分的关于 $二重积分一般计算步骤_定义域_31$ 轴对称的两点分别和坐标原点连线,构成的封闭区间积分借助对称性可以不用分段写

双轴对称

对称性很强的时候(关于 $二重积分一般计算步骤_定义域_32$ 轴都对称),且被积函数是同时是 $二重积分一般计算步骤_定义域_32$ 的偶函数,可以将积分区域再收缩
比如D:;又设被积函数为 $二重积分一般计算步骤_区域分割_35$ ,= $二重积分一般计算步骤_定义域_37$ = $二重积分一般计算步骤_区域分割_38$ ,

此处, $二重积分一般计算步骤_区域分割_39$ 为积分区域在第一象限的部分为 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_40$ , $二重积分一般计算步骤_二重积分_41$ 所围成的面积
$二重积分一般计算步骤_定义域_42$ = $二重积分一般计算步骤_二重积分_43$ = $二重积分一般计算步骤_区域分割_44$ = $二重积分一般计算步骤_定义域_45$

变量的对称性@轮换对称计算

若积分区域关于直线 $二重积分一般计算步骤_定义域_46$ 对称

则积分区域 $二重积分一般计算步骤_区域分割_02$ 的不等式或等式中将 $二重积分一般计算步骤_二重积分_48$ 对调后,原等式或不等式不变
这类对称下的积分满足: $二重积分一般计算步骤_定义域_49$ = $二重积分一般计算步骤_坐标轴_50$
例如,以下积分区域都是关于 $二重积分一般计算步骤_二重积分_51$ 对称的

$二重积分一般计算步骤_坐标轴_52$ ;半径为 $二重积分一般计算步骤_区域分割_53$ 的圆域
$二重积分一般计算步骤_坐标轴_54$ 第一象限内的边长为1的正方形

这条性质某些时候很有用,可以求解具有(轮换)对称形式的被积函数

选择合适的坐标系

选择积分坐标系(😀根据积分区域的特点和被积函数的形式)

直角坐标系

关键是将二重积分化为累次积分

累次积分又有顺序之分

往往根据积分区域和被积函数来确定

先 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_55$ 后 $二重积分一般计算步骤_定义域_56$

$二重积分一般计算步骤_坐标轴_57$ = $二重积分一般计算步骤_坐标轴_58$

$二重积分一般计算步骤_二重积分_59$ = $二重积分一般计算步骤_坐标轴_60$

先 $二重积分一般计算步骤_定义域_56$ 后y

$二重积分一般计算步骤_坐标轴_62$ = $二重积分一般计算步骤_定义域_63$

$二重积分一般计算步骤_定义域_64$

极坐标系

如果积分区域和圆相关

圆/扇环/扇形…

被积函数是复合了下列函数的复合函数

$二重积分一般计算步骤_定义域_65$ (1)

因为极坐标中

$二重积分一般计算步骤_坐标轴_66$
$二重积分一般计算步骤_二重积分_67$
上述形式的函数可以消去 $二重积分一般计算步骤_定义域_68$ 或者 $二重积分一般计算步骤_二重积分_69$ ,得到一个一元函数

另一类被积函数是仅含 $二重积分一般计算步骤_二重积分_70$ 的情形,虽然不如(1)中列举的那么方便,但是其过渡到三角表达式后可以进行降次,正重要的是积分区间用极坐标表示更简单

确定积分区间

积分次序

确定累次积分的次序,根据积分区域和被积函数综合考虑

积分限

确定累次积分的积分限
在累次积分的过程中,每次只对一个变量进行积分
其余被视为常数的因子应当提取到外部,降低干扰和犯错误的几率

应用

例1

设 $二重积分一般计算步骤_区域分割_71$ ,则 $二重积分一般计算步骤_区域分割_72$ = $二重积分一般计算步骤_定义域_73$

分析积分区域是一个圆,关于 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_74$ 轴都对称,而 $二重积分一般计算步骤_区域分割_75$ , $二重积分一般计算步骤_二重积分_76$ 分别是关于 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_74$ 的奇函数,从而

$二重积分一般计算步骤_区域分割_78$ =0
$二重积分一般计算步骤_二重积分_79$ =0

$二重积分一般计算步骤_坐标轴_80$ = $二重积分一般计算步骤_坐标轴_81$ = $二重积分一般计算步骤_坐标轴_82$

例2

设 $二重积分一般计算步骤_定义域_83$ , $二重积分一般计算步骤_坐标轴_84$ = $二重积分一般计算步骤_坐标轴_85$ 则 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_86$

这个形式适合用极坐标系积分,这样累次积分的积分区间形式简单
$二重积分一般计算步骤_坐标轴_66$ , $二重积分一般计算步骤_二重积分_67$ , $二重积分一般计算步骤_二重积分_89$ , $二重积分一般计算步骤_定义域_90$
$二重积分一般计算步骤_二重积分_91$ = $二重积分一般计算步骤_区域分割_92$ = $二重积分一般计算步骤_二重积分_93$ = $二重积分一般计算步骤_区域分割_94$

例3

设 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_57$ = $二重积分一般计算步骤_区域分割_96$ ,令 $二重积分一般计算步骤_区域分割_97$ = $二重积分一般计算步骤_区域分割_98$ ,求 $二重积分一般计算步骤_定义域_99$

显然 $二重积分一般计算步骤_区域分割_100$ 不关于任何坐标轴对称
但可以构造辅助线,使得 $二重积分一般计算步骤_区域分割_100$ 划分成2个分别关于 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_74$ 轴对称的区间

不妨将关于 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_104$ 对称的区间记为 $二重积分一般计算步骤_定义域_105$ ,将关于 $二重积分一般计算步骤_区域分割_106$ 对称的区间记为 $二重积分一般计算步骤_二重积分_107$

观察 $二重积分一般计算步骤_二重积分_108$ 这是个关于 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_74$ 都是奇函数的函数
$二重积分一般计算步骤_区域分割_110$ = $二重积分一般计算步骤_坐标轴_111$ + $二重积分一般计算步骤_区域分割_112$ = $二重积分一般计算步骤_坐标轴_113$ =0

例4

设 $二重积分一般计算步骤_定义域_114$ ,上述积分区域下,求解如下积分
分析可知该区域同时关于 $二重积分一般计算步骤_二重积分_115$ 轴对称

$二重积分一般计算步骤_二重积分_116$

被积函数 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_117$ 是关于 $二重积分一般计算步骤_区域分割_106$ 的奇函数,区域关于 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_104$ 轴对称,因此积分结果为0

$二重积分一般计算步骤_区域分割_121$ = $二重积分一般计算步骤_二重积分_122$

被积函数 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_123$ 关于 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_104$ 的偶函数,区域关于 $二重积分一般计算步骤_区域分割_106$ 轴对称,积分结果为 $二重积分一般计算步骤_定义域_127$ = $二重积分一般计算步骤_坐标轴_128$ = $二重积分一般计算步骤_区域分割_129$

$二重积分一般计算步骤_坐标轴_130$ = $二重积分一般计算步骤_区域分割_131$

被积函数关于 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_104$ 的偶函数,区域关于 $二重积分一般计算步骤_区域分割_106$ 轴对称,积分结果 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_134$ = $二重积分一般计算步骤_区域分割_135$ + $二重积分一般计算步骤_区域分割_136$ == $二重积分一般计算步骤_区域分割_129$

例5

设两曲面, $二重积分一般计算步骤_定义域_140$ = $二重积分一般计算步骤_区域分割_141$ ;求两曲面所围成的空间区域体积 $二重积分一般计算步骤_区域分割_142$

先求的投影 $二重积分一般计算步骤_区域分割_100$ ,联立两个曲面方程,消去 $二重积分一般计算步骤_定义域_145$ ,得积分区域应为: $二重积分一般计算步骤_定义域_146$ ,即 $二重积分一般计算步骤_定义域_147$
记 $二重积分一般计算步骤_二重积分_148$
= $二重积分一般计算步骤_区域分割_150$ = $二重积分一般计算步骤_二重积分_151$

由积分区域可知 $二重积分一般计算步骤_二重积分_153$ ,所以 $二重积分一般计算步骤_区域分割_154$ = $二重积分一般计算步骤_坐标轴_155$
该积分适合化为极坐标计算: $二重积分一般计算步骤_区域分割_154$ = $二重积分一般计算步骤_二重积分_157$ = $二重积分一般计算步骤_区域分割_158$

例6

令 $二重积分一般计算步骤_定义域_159$ = $二重积分一般计算步骤_坐标轴_160$ ,区域 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_57$ 由以下3个曲线围成

$二重积分一般计算步骤_二重积分_162$ ,
$二重积分一般计算步骤_定义域_163$ ,
$二重积分一般计算步骤_区域分割_164$

求 $二重积分一般计算步骤_定义域_165$
分析 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_57$ :第一个方程是双曲线 $二重积分一般计算步骤_区域分割_167$ 在 $二重积分一般计算步骤_定义域_168$ 区间上的部分,而第2,3个方程是关于 $二重积分一般计算步骤_定义域_169$ 轴对称的过原点的直线方程
并且联立方程(1,2),(1,3)得到2个方程组,解得两个对称的交点为 $二重积分一般计算步骤_定义域_170$ , $二重积分一般计算步骤_定义域_170$ ,因此可以明确直线和双曲线必相交,能够构成封闭区域
观察区域 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_57$ 图形可知, $二重积分一般计算步骤_坐标轴_57$ 关于 $二重积分一般计算步骤_定义域_169$ 轴对称
将 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_84$ 展开: $二重积分一般计算步骤_坐标轴_84$ = $二重积分一般计算步骤_区域分割_177$ ,所以

= $二重积分一般计算步骤_区域分割_179$

其中 $二重积分一般计算步骤_坐标轴_180$ , $二重积分一般计算步骤_坐标轴_181$ 都是关于 $二重积分一般计算步骤_区域分割_106$ 的奇函数,因此这两项积分结果为0
而剩余两项都是关于 $二重积分一般计算步骤_区域分割_106$ 的偶函数
$二重积分一般计算步骤_二重积分_184$ 都可以视为二元函数, $二重积分一般计算步骤_定义域_185$ ,也可以视为关于 $二重积分一般计算步骤_区域分割_106$ 的偶函数,积分区域可以再次收缩
$二重积分一般计算步骤_区域分割_154$ = $二重积分一般计算步骤_二重积分_188$ = $二重积分一般计算步骤_坐标轴_189$ = $二重积分一般计算步骤_区域分割_190$ = $二重积分一般计算步骤_区域分割_191$ = $二重积分一般计算步骤_定义域_192$ =