文章目录
- 旋轮线
- 摆线
- 性质
- 方程推导
- 参数方程
- 普通方程
- 星形线
旋轮线
摆线
- 在数学中，摆线（Cycloid）被定义为，一个圆在一条直线上滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。
- 它是一般旋轮线的一种。摆线亦称圆滚线。
- 摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。
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性质
- 它的长度等于旋转圆直径的 4 倍。它的长度是 一个不依赖于π的有理数。
- 在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍。
- 圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的。
- 当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部。
方程推导
- 在半径为
的圆,从圆心
在
轴上的
,取此时圆周上的点
作为观察点,
,在圆上分别标记这两点,在随着圆周滚动的过程中,圆心始终处于
这一直线上
- 容易确定最高点的纵坐标为
;而圆的边缘和
轴接触过的部分恰好是半个圆周,即
,此时
点位于
,
位于摆线最高点
- 取摆线上的任一位置
将其和圆心
连线,并作
点,
- 令
- 显然
时,摆线会走过刚好一个周期
- 分别作
交于
,
交于
=
=
=
=
-
=
=
=
=
=
=
参数方程
- 综上:摆线的方程为
(1);(2)
普通方程
- 这里利用公式
=
=
(3)
- 这里
,
- 而由(2)可以解出
=
,
(4);代入(1),得=
=
=
(5) - 因此普通方程可以写成:
(6),形式复杂,不如参数方程来得简单
星形线
- 与摆线类似但不同,摆线沿着直线摆动,而星形线验证圆线内切的摆动
- 参数方程
- 普通方程
=