文章目录 曲线弧长 参数方程表示的曲线弧长 直角坐标方程表示的曲线弧长 极坐标方程表示曲线弧长 小结 应用 例 例 旋转曲面面积👺 例 曲线弧长 曲线弧长同样可以用微元法来求解 我们用曲线的内折线的长度来逼近被求曲线弧长 设平面上的曲线以为端点,在上任意取个点:,链接,这些线段构成的内折线 当不断增大,不断接近于0时,若的长度趋近于于一个极限值,则这个极限值就定义为的长度;并且称此是可求长的 定理:光滑曲线弧是可求长的 参数方程表示的曲线弧长 设曲线弧由参数方程,,给出 其中在上具有连续导数,不同时为0 取参数为积分变量其变化区间为,相应于上任意小区间的小...

文章目录 旋轮线 摆线 性质 方程推导 参数方程 普通方程 星形线 旋轮线 ggb在线绘图 refs:摆线(wikipedia.org) 摆线 在数学中，摆线（Cycloid）被定义为，一个圆在一条直线上滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。 它是一般旋轮线的一种。摆线亦称圆滚线。 摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。 性质 它的长度等于旋转圆直径的4倍。它的长度是一个不依赖于π的有理数。 在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍。 圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的。 当弹...

文章目录 引力(``) 分析 两质点间的引力公式 三重积分计算引力 薄片情形 计算 例 引力() 这里讨论的是:空间一物体对于物体外一点处单位质量的质点的引力 分析 仍然使用元素法, 设占有空间有界闭区域,在点处的密度(体密度)为,并假定在上连续; 在物体内任意取一直径很小的闭区域,其体积也记为 是这一小块闭区域上的一个点,因为的直径很小,且在上连续,所以这一小块物体的质量近似看作集中在点上 两质点间的引力公式 设空间中两质点与,质量分别为,两点间距离为(1) 则对的引力大小为=(2) 力是向量,这里的方向为=(3),该方向的方向余弦为=,,(4) 从而=(5)...

文章目录 abstract 典型曲线 心形线 玫瑰线 阿基米德螺线 伯努利双扭线 abstract 除了圆和圆锥曲线外,还有许多曲线用极坐标描述会简单得多 典型曲线 分析下列曲线时,线分析是否含有三角函数(周期性) 利用描点法做出单个周期内的图形 作图:可以打开geogebra https://www.geogebra.org/calculator/fds4duvm 心形线 =, 周期= 奇偶性:偶函数,图形关于极轴对称,同时位于图形上 综上,只要考虑上的图形,就可以通过翻折图形,的到整个周期的图形 而在上,是从的递减函数,前半程是凸函数,后半程是凹函数; ...

文章目录 abstract 微元法(元素法) 微元法的步骤 平面图形的面积 直角坐标系上图形面积 参数方程确定的曲线所围成的图形面积 例 极坐标上图形面积👺 曲边扇形面积 曲扇环面积 应用 例 例 abstract 微元法 定积分的应用@平面图形面积@体积@弧长 微元法(元素法) 定积分(一重,二重,三重积分)应用的关键在于微元法 设所求的量依赖于区间以及在此区间上定义的某函数,且满足 当为常数时, 当分为一些小区间之和时,量也被分割为相应的一些之和,即具有可加性 将在小区间上视为常量,于是由微分学有,近似 (1),或更准确表示为:...

文章目录 abstract 旋转曲面👺 基本概念 旋转情况分类 例 旋转曲面的方程👺 研究思路 推导过程 小结 常见旋转曲面方程 双曲面 单叶双曲面 双叶双曲面 双曲抛物面(马鞍面) 锥面👺 abstract 使用截痕法分析曲面形状 旋转曲面方程及其特点 伸缩变形法另见它文: 空间曲面@曲面分析方法@常见曲面方程@球面@柱面@二次曲面分类和汇总 旋转曲面👺 基本概念 以一条平面曲线绕其平面上的一定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 旋转曲线称为旋转曲面的母线,定直线称为旋转曲面的轴 平面曲线(绕坐标轴)旋转类曲面的共同特点是可...

文章目录 平面上点到直线的距离 平面上点到直线的距离 设坐标平面上有点和直线,不全为0 点到直线的的距离的算法推导如下 作直线通过点,并且和直线垂直,设垂足为 令:(0),所求的就是 由直线垂直对应的方程关系可设直线的方程为(1) 因为在上,从而(1-1) 两式相减,得(1-2) 将代入到(1-2),得=0(1-3) 又因为还在上,从而,从而(1-4), 构造,由(1-4),得=(1-5),即(1-6) 将(1-3)两边平方加上(1-6)两边平方,整理得 =(1-7);代入(0),得= 所以= (1-8)

文章目录 反三角函数 反三角函数图形 利用反函数的性质绘制反三角图形 反三角函数的定义域&值域 反三角函数的恒等式 推导 反三角函数 反三角函数(wikipedia.org) 反三角函数图形 利用反函数的性质绘制反三角图形 由于反函数与其原本的直接函数关于这一直线对称,因此我们可以根据反三角函数的值域,在直接三角函数上截取一段相应的区间,这部分函数记为 再将关于作对称图形 另一方面结合相关不等式,来提高草图准确度,例如: 由,,三条曲线在区间内没有交点,而在处三个函数交于原点 又因为三个函数都是奇函数,...

文章目录 abstract 微积分中值定理的双存在值证明题举例 综合使用积分中值定理和微分中值定理例 双中值问题 构造辅助函数法综合 小结 abstract 微积分中值定理的双存在值证明问题@寻找辅助函数证明中值问题 微积分中值定理的双存在值证明题举例 综合使用积分中值定理和微分中值定理例 设,在上连续,在上可导 且=(1) 证明:存在两个不同点,s.t.(2) 证: 由(1)可得+=(3),这就对积分区间作一个拆分,并且恰好能够将重叠的积分区域变形为不重叠的形式,这有利于我们在不同区间利用积分中值定理找到2个不同的值 移项得:=(3-1) 对(3-...

英文书写字体 衡水体 衡水体1是一种手写印刷体，是适应考试而兴起的书写规范的文体，这种文体严谨、整洁、美观。 特点:字母间无交叉，竖笔直，圆饱满，起笔收笔不带钩，书写规则要求斜度往右微微倾斜。 相比于意大利斜体,更加简洁 样例 Notes 字体大小和高度:控制字体的大小,不应太大或太小(多尝试几次找到合适的大小) 字体的粗细:印象因素包括握笔的轻重,握笔姿势 手指距离笔尖的距离越近,通常对笔画的控制越准确 不建议写的太用力,稍微轻一点字母会更容易写得圆润 笔的规格(0.5/0.7/0.35) 书写的速度:通过训练写得又快又好 坐姿:合适的坐姿对书写效果有好处 心态:良好...

文章目录 二元函数的全微分求积 全微分 全微分叠加原理 全导数 成为某二元函数全微分的条件 定理 证明 必要性 充分性 推论 应用 例 例 二元函数的全微分求积 全微分 设函数在点的某个领域内有定义,如果导数在点的全增量=能够表示为=(0) 则称为函数在的全微分,记为=(1)或=(1') 全微分叠加原理 二元函数的全微分(如果存在)等于它的两个偏微分之和 即=+(1-1) 全导数 若函数,都在点可导,函数在对应点具有有连续偏导数,则复合函数在点可导,且=+(2)简写为 成为某二元函数全微分的条件 这里讨论函数,满足什么条件时,表达式(...

文章目录 适合使用极坐标计算二重积分的情形 极坐标下的二重积分公式 三种积分区域的情形 极点在积分区域外 极点在积分区域边界处 极点在积分区域内部 例 交换极坐标积分次序 例 利用极坐标形式解决直角坐标函数积不出的积分 例 重要反常积分的二重积分计算法 适合使用极坐标计算二重积分的情形 某些情形下,使用极坐标下的二重积分更方便(积分区域的边界曲线和被积函数用极坐标描述比较方便的情形) 当积分区域为:圆域,环域,扇形域,或它们的一部分 被积函数是,,(1)等形式时,一般选择极坐标下计算二重积分会更加简单 例如 例1:,为,,,所围成的第一象限内...

文章目录 型幂指函数的极限👺 这类极限问题属于未定式,若极限存在,则应该为相关的式子,也可能极限不存在(尽管大多数我们遇到的都是极限存在的情形) 分离常数变形 有时,需要使用分离常数的技巧将函数的形式转换为的形式, 例如: 分子分母同时除以变化最快项 这种方法有时比分离常数更加方便和直接 通常用在含的情形下 0 速算结论👺(三部曲) 如果判断出所求极限是属于型的情况下,求极限(0),则可以按如下步骤求解 将原式标准化为(1) 先计算出(2) 那么:(3),也即是说,结果是的幂的形式 标准化 上述步骤一中标准化方法通常是=,即减1加1 这一步...

文章目录 abstract 全微分方程 全微分方程的解 例 曲线积分的基本定理 保守场 定理 证明 小结 和微积分基本公式的比较 abstract 全微分方程 利用二元函数的全微分求积,可以求解全微分方程 曲线积分的基本定理(公式) 全微分方程 一个方程写成=(1)的形式后,若它的左端恰好是某一个函数的全微分:=(2),则方程(1)称为全微分方程 全微分方程的解 显然,若方程(1)的左端式函数的全微分,则(3),(其中是任意常数)就是全微分方程(1)的隐式通解 由曲线积分与路径无关判定定理,以及通过线积分的全微分求积公式:=(4)可知,当,在单连...

文章目录 平面上曲线积分和路径无关条件 曲线积分与路径无关的定义 等价描述 小结 充要条件定理 充分性 必要性 说明 线积分与路径无关时的计算👺 曲线积分与路径无关的三个等价命题 等价结论 Newton-Leibniz二元函数形式 积分路径的简化 应用 例 例 平面上曲线积分和路径无关条件 问题对应的物理问题是,势场问题,即研究场力所作的功和路径无关的情形 重点是在什么条件下,场力所作的功和路径无关,对应数学上的问题是曲线积分和路径无关条件 曲线积分与路径无关的定义 设是一个区域,以及在区域内具有一阶连续偏导数 若内任意指定的两个点,以...

文章目录 abstract 相关概念 质心 重心 质心的计算 平面质心基本概念 薄片质心 静矩元素 薄片质心坐标 均匀薄片的质心 形心坐标 例 对称图形的质心 例 空间体的质心 均匀半球的质心 转动惯量 平面薄片的转动惯量 计算方法 空间体的情形 例 例 引力(``) abstract 重积分的应用(物理应用) 质心 转动惯量 引力 元素法的应用 相关概念 质心(wikipedia.org) 质心 质心为多质点系统的质量中心。 若对该点施力，系统会沿着力的方向运动、不会旋转。 质点位置对质量加权取平均值，可得质心位置。 以质心...

文章目录 微积分第一基本定理的应用和实例 例 例 例 例 例[综合] 微积分第一基本定理的应用和实例 例 设在[a,b]上连续,且,(1) 求证 方程在内仅有一个实根 式(1)两边对求导 由于,由基本不等式得出 由于 ;故由零点定理知,在内至少存在一个根 而,在上单调增加,所以在内仅有一个根 例 方法1: 容易发现上述极限是型,考虑使用LHopital法则 由于(可以令,作复合函数求导) = = 或这样书写 利用洛必达法则计算0/0型未定式:= 方法2:积分中值定理法,更方便的方法 令=,那么由积分中值定理,=,(1) 即=,(...

文章目录 abstract 引言 函数展开成幂级数 确定展开的幂级数系数 小结 定理 麦克劳林级数 展开成Maclaurin级数的步骤 例 例 abstract 函数展开成幂级数 采用定义法(直接法)推导简单函数的幂级数展开公式 引言 幂级数有两重要问题 幂级数收敛域以及其和函数(即幂级数会在收敛域收敛于哪个函数) 将给定的函数展开成幂级数形式(即找到收敛域内收敛于给定函数的级数) 函数展开成幂级数 对于给定的函数,若能够找到一个幂级数,它在某个区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数 如果能够找到这样的幂级数,就称在区间内能展开成幂级数,这个幂级数在区间内就表...

文章目录 间接法推导幂级数展开 常用麦克劳林幂级数展开公式 应用 例 例 例 间接法推导幂级数展开 已知函数的幂级数展开公式间接推导其他函数幂级数 使用原始的推导公式推导函数的幂级数展开是繁琐不便的,需要分别计算各项系数,最后考察余项是否趋于0 尤其是其中研究余项在初等函数中也不是容易的事 间接法包括: 幂级数运算(四则运算,逐项求导,逐项积分) 变量代换法 这些间接方法不仅计算简单,而且避开了对余项的研究 常用麦克劳林幂级数展开公式 利用以下基础展开式(直接法推得),可以推出许多函数的幂级数展开式 下面()是基础幂级数,推出后面得新幂级数: =, = ...

多元函数奇偶性 多元函数的定义域 定义域根据函数的变量数不同,有不同的形式 一元函数,定义域可以是数集 二元函数,定义域可以是一平面区域,是平面点集 三元函数,定义域是一块空间区域,是空间点集 … 圆函数,定义域为维点集 自然定义域 根据仅根据表达式本身是否有意义来判定定义域 比如分式中分母不为0 偶次根式内不可为负数 对数函数的真数为正数 特定定义域 根据实际需要或者认为规定的的区域,比如给定积分区域(积分限) 元函数 是一个元函数,记为 其中表示函数的第个自变量 奇偶性 一般讨论的是关于某个自变量的奇偶性 设元函数,是关于的偶函数,则= 若是关于的奇函数= ...