文章目录

• abstract
• 相关概念

• 质心
• 重心

• 质心的计算

• 平面质心基本概念
• 薄片质心
• 静矩元素
• 薄片质心坐标
• 均匀薄片的质心
• 形心坐标

• 例

• 对称图形的质心
• 例
• 空间体的质心
• 均匀半球的质心

• 转动惯量

• 平面薄片的转动惯量
• 计算方法
• 空间体的情形
• 例
• 例

• 引力(`*`)

abstract

• 重积分的应用(物理应用)

• 质心
• 转动惯量
• 引力

• 元素法的应用

相关概念

• 质心 (wikipedia.org)

质心

• 质心为多质点系统的质量中心。

• 若对该点施力，系统会沿着力的方向运动、不会旋转。
• 质点位置对质量加权取平均值，可得质心位置。

• 以质心的概念计算力学通常比较简单。
• 质心对应的英文有 center of mass 与 barycenter（或 barycentre)。

• 后者指两个或多个物体互绕物体的质量中心。

• 在几何学，质心不等同于重心，是二维形状的几何中心。

重心

• 重力作用的平均位置，定义为各质点相对于重心(质心)的位置向量乘上各质点的重力之和(合力矩)为零。
• 质心不一定要在有重力场的系统中才会有意义，而重心则否。
• 值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。
• 对于密度均匀、形状对称分布的物体，其质心位于其几何中心处
• 在两质点系统中，取质心为原点，两质点连线为x轴，则两质点坐标和与质量与有如下关系：
  

质心的计算

平面质心基本概念

• 设在平面上有个质点,它们分别位于点处,质量分别为
• 由力学知识,该质点系的质心坐标为(1)

• =(1-1)
• =(1-2)

• 相关概念:

• 式组(1)中

• =;
• =;
• =

• 其中称为质点系的总质量
• 分别为改质点系对轴和轴的静矩

薄片质心

• 设有一平面薄片,占有坐标面面上的闭区域

• 在点处的面密度为,假定在上连续,现在要找到该薄片的质心的坐标

静矩元素

• 在闭区域上任取一直径很小的闭区域(其面积也极为),是着小闭区域上的一点
• 因为的直径很小,且在上连续,所以薄片相应于的部分的质量,近似于,这部分质量可以近似看作集中在点上,于是有静矩元素:

• =,(2-1)
• (2-2)

薄片质心坐标

• 以上述元素为被积表达式,在闭区域上积分,可得

• =,(3-1)
• =(3-2)

• 而薄片的质量可以直接有二重积分得到=(4)
• 所以薄片的质心的坐标为(将式(3-1,3-2,4)分别代入到(1-1,1-2)),所得坐标就是薄片质心坐标

均匀薄片的质心

• 若薄片是均匀的,即面密度为常量,则式中提到积分号外面,并从分子分母中约去,得公式(5)

• =
• =
• 其中=为闭区域的面积

形心坐标

• 这时薄片的质心完全由闭区域的形状所决定,我们把均匀平面薄片的质心称为平面薄片所占的平面图形的形心
• 因此,平面图形的形心的坐标,可以用公式(5)计算
• 而空间区域的形心可以用公式(5')

• =
• =
• =
• 其中=

例

• 设=,则的形心的竖坐标(z轴坐标)?
• 解

• 分析区域是一个顶点位于的开口向上的旋转抛物面,被平面所截,取的部分
• 利用公式=计算

• 需要计算下面两个积分,使用先二后一的顺序积分较为方便

• ====
• 注意投影面是一个圆域,半径为,(而不是)
• 面积为
• ===

• 综上,=

对称图形的质心

• 若均匀平面薄片由对称轴,则质心一定位于对称轴上
• 反证法:设质心不再对称轴上,则质心一定倾斜)

例

• 求位于两圆,之间的均匀薄片的质心

• 容易确定两个圆的半径分别为,圆心分别为,
• 由于所研究薄片关于对称,所以质心一定在上
• 而====

• 其中====

• 因此,所求质心为

空间体的质心

• 设占有空间有界闭区域,在点处的密度(体密度)为

• 假定在上连续

• 则物体的质心坐标(6):

1. =
2. =
3. =

• 其中=(7)
• 类似的,若空间体是均匀的,则体密度是常数,可以提出到积分号前面
• 则==(7-1),其中=表示的体积,即有=(7-2),从而有(8)

1. =
2. =
3. =

均匀半球的质心

• 整个均匀球的质心容易确定就是球心,现在我们看半球的质心
• 取半球体的对称轴轴,原点取在球心上,又设半径为

• 半球体所占空间闭区域=
• 显然,质心在轴上,故
• 而由公式(8-3),=

• 其中为半球的体积
• 用球坐标计算:====

• 从而=

• 则质心为

转动惯量

平面薄片的转动惯量

• 设在平面上有个质点,它们分别位于点处,质量分别为
• 由力学知识,该质点系对于轴和轴的转动惯量依次为

• =
• =

• 设有一平面薄片,占有坐标面面上的闭区域

• 在点处的面密度为,假定在上连续,
• 现在要求该薄片对轴的转动惯量以及对于轴的转动惯量

计算方法

• 应用元素法
• 在闭区域上任意取一直径很小的闭区域(设其面积也记为)
• 是小闭区域上的一个点,因为的直径很小,且在上连续,所以薄片中相应于部分的质量近似等于,这部分质量可以近似看作集中在点上,于是有薄片对于轴以及对于轴的转动惯量元素

• =(1-1)
• =(1-2)

• 以这些元素为被积表达式,在闭区域上积分,便得

• =(2-1)
• =(2-2)

空间体的情形

• 设占有空间有界闭区域,在点处的密度(体密度)为

• 假定在上连续

• 则物体对轴的转动惯量分别为(6):

1. =
2. =
3. =

• 其中=(7)
• 类似的,若空间体是均匀的,则体密度是常数,可以提出到积分号前面
• 公式的应用:以公式(6-1)为例可以看出,计算转动惯量需要

• 建立合适的坐标系
• 被转动的以及体密度,

• 被积函数中的则是公式中固定的部分

• 而若是常数时,提到积分号前,则公式的计算关键就取决于的形状

例

• 求半径为的均匀半圆薄片对于其直径边的转动惯量

• 设密度为常数

• 解

• 取半圆的直径中点为坐标系原点,直径和轴重合(半圆和轴交于)

• 则薄片所占闭区域

• 则所求转动惯量即半圆薄片对于轴的转动惯量=====
• 若记为半圆薄片的质量=
• 则=

例

• 求密度为的均匀球对于过球心的一条轴的转动惯量
• 解

• 取球心为坐标原点,轴与轴重合,
• 又设球的半径为,则球所占空间闭区域为

• =

• 所求转动惯量即球对于轴的转动惯量为

• ==
• 该积分使用球坐标计算:=

• ===
• 其中=为球的质量

引力(*)

• 这里讨论的是:空间一物体对于物体外一点处单位质量的质点的引力
• 仍然使用元素法,

• 设占有空间有界闭区域,在点处的密度(体密度)为,并假定在上连续;
• 在物体内任意取一直径很小的闭区域,其体积也记为
• 是这一小块闭区域上的一个点,因为的直径很小,且在上连续,所以这一小块物体的质量近似看作集中在点上

• 并由两质点间的引力公式,可得元素对应的小块物体对位于处的单位质量质点的引力近似为

• ==

• 为引力元素在三个坐标轴上的分量
• 为引力常数

• 对在上分别积分,得==

• 对于薄片情形,将换为(体密度换为面密度),三重积分化为二重积分即可得到相应公式