文章目录

• 微分学中出现的几个中值定理

• 中值定理证明存在性不等式或等式问题

• 辅助函数的构造

• 例
• 例
• 例
• 例

• 分析
• 方法1
• 方法2
• 方法3

微分学中出现的几个中值定理

• Rolle中值定理(Rolle定理)
• Lagrange中值定理
• Cauchy中值定理
• Taylor中值定理
• 其中Rolle定理是最基础的,而Largrange可视为Cauchy中值定理和Taylor中值定理的特例

中值定理证明存在性不等式或等式问题

• 这类问题大多关键在于构造合适的辅助函数

• (如同Lagrange中值定理的证明中,也是构造了一个合适的辅助函数,对该辅助函数应用Rolle定理)

• 并且往往用构造的函数来重新描述(变形)需要证明的不等式(将等式或不等式转化为函数问题,比如函数零点,函数单调性,凹凸性的判断)
• 由多个(通常是2个)函数方程或不等式和待证不等式的信息,通常我们要构造的函数是包含了这些信息的组合函数(比如函数四则运算组合),组合成一个函数,好处是一个函数应用诸如零点定理,介值定理,微分中值定理(Rolle定理,Lagrange中值定理)比较方便操作
• 微分中值定理的应用是很灵活的,作用区间的划分是经常拿来做文章的地方,运用3次或更多次微分中值定理是家常便饭

• 例如区间内存在点,而内存在点,内存在点,内存在点

辅助函数的构造

• 对于简单点的问题,对条件给定的函数间进行构造即可,

• 例如欲求证或,则尝试构造,利用连续函数的零点定理
• 而关于导数的等式求证,则主要考虑对辅助函数使用微分中值定理
• 而导数且分式形的,考虑Lagrange中值定理,Cauchy中值定理(如果分式中的分子分母不是差的形式,可以,对做代换)

• 复杂一些的类型,通过经验构造辅助函数,特别是的幂参与构造(因子)的函数,是因为的幂的导数具有优良的性质(这在推导常系数线性微分方程的解公式时构造的函数也用到了的幂)

• =
• =

• 通过枚举和归纳构造辅助函数

例

• 设在连续,在内具有二阶导数,且在内存在相等的最大值(1),又设=,=(2),
• 求证,s.t.=(2-1)
• 证明;

• 令=,由(2)可知,==(3)

• 由(1)可设,s.t. (4),即分别是在内的极大值点,为相应的极大值

• 显然(4-1),(4-1-1)
• (4-2)即(4-2-1)
• 分别将式(4)和(4-1-1),相加,得,即 (5-1);
• 类似的(5-2)

• 可以将式(4)等号两边对调,得到=,再和式(4-2-1)相加
• 也可以将式(4)代入到式(4-1-1)的左端,也可以得到(5-2)
• 但是不能直接(4)和(4-2-1)相加,这得不到(5-2)

• 现在我们讨论(5-1,5-2)取等号和不取等号时,都存在一个数使得(6)

• 若(5-1,5-2)中一个取等号,不妨设(5-1)取等号,即,令,即有(6);若(5-2)取等号,令,即有(6)
• 若都不取等号,即,则考虑零点定理,有式(6)

• 综上(3),(6)可知,在上有3个零点:

• 在区间,上分别利用罗尔定理,得:

• ,s.t. (7)
• ,s.t. (8)

• 而(7,8)恰好仍然满足罗尔定理条件,所以,s.t. ,即,得证

例

• 设在闭区间上连续,在区间内可导,且,(0)

• 常数

• 求证

1. 使得(1)
2. ,,使得=(2)

• 证明:

• 对于(1),考虑连续函数的零点定理

• 构造=(3),则式(1)等价于(4)
• 有条件,=<0;=>0从而,所以,使得(4)成立,证毕

• 对(2),利用(1)的结果进行推理

• 在区间和上,对分别使用Lagrange中值定理,存在,,使得

• =(5-1)
• ==(5-2)

• 将式(0),(1),(5-1,5-2),分别得

• ==
• =

• 分别代入=+=,即证式(2)

例

• 设在上有阶导数,且==,(0)
• 求证:存在,使得=(1)
• 分析

• 当时,式(1)为=,即=0,

• 这是的导函数减去自身的式子,
• 由的幂的导函数性质,可以构造=(2),则==

• 当时,式(1)为=,即=,变形为,可构造=(3),则=
• 猜测和归纳:时,构造=(4)

• 则==(4-1)

• 考察式(4),由条件(0),即,对应用Rolle定理,得:存在,使得=

• ==0,而,从而,这就证明了(1)

例

• 是函数在上二阶可导,且,;=
• 求证:

• 至少存在一点,使得(0)
• 将问题中的区间改为区间,求证(0)

分析

• 首先要构造合适的辅助函数:令,则由条件得:,(1),且(2)
• ,(1-1),且(2-1)
• 由(3)从而=,式(0)改写为因此证明式(0)只需要证明:至少存在一点,(2-2)

方法1

• 显然,由连续性和极值点知识,在区间内必有存在使得(3)(否则式(2)大于0),并且在内存在极小值点,不妨设为,,为极小值,则处导数为0,即=(4)
• 考虑使用Taylor公式将在处展开,以联系和相关二阶导数

• =+(5)
• 再考虑=+=+(6),变形为=
• 而,(即),从而(7),从而>0(9)
• 而,所以(10)
• 所以,得证

• 问题2可以类似得证

方法2

• 由积分中值定理:,使得=(2),代入(2-1)得(3)
• 对的两个区间分别使用Lagrage中值定理:

• ,使得==
• ,使得==
• 由条件(1-1),可知,(4),并且显然(5)

• 在对使用Lagrange中值定理

• ,使得=
• 由(4,5),>0,
• 所以>0,从而(6)
• 由于,所以(7),
• 由(7),(6),结论得证

• 问题1将即可得证

方法3

• 反证法:
• 假设,,即是一个单调递减函数
• 而由(1-1)和定积分性质:(3),这和式(2-1)矛盾
• 从而假设不成立,即至少存在,使得,即式(2-2),证毕