文章目录

• abstract
• 相关概念

• 最值👺
• 无最值的情况
• 零点

• 连续函数的性质

• 连续函数的四则运算
• 复合函数极限关系定理

• 函数符号和极限号交换次序

• 复合函数的连续性👺
• 基本初等函数的连续性

• 推论

• 反函数的连续性👺

abstract

• 连续函数相关概念和运算性质

相关概念

最值👺

• 我们将最小值和最大值定义合起来写
• 在区间上有定义的函数,若,使得,都有(),则是函数在区间上的最大值(最小值)

无最值的情况

• 函数在区间内有最值的不充分条件

1. 函数在开区间内连续
2. 或在闭区间上有间断点(说明函数可能无界,即使有界也不一定有最值)

• 区间内有界是有最值的必要不充分条件
• 区间内连续是不必要条件
• 例在上虽然连续,但是其无界,所以无最值;
• 例:分段函数

• =;
• =,
• =

• 在闭区间上虽然有界但是出现孤立点(处左连续和右连续都不成立)
• 是的一个上界,但是是取不到这个上界值,只能说,也就是没有一个确定的具体的自变量取值能够使成立;也是类似的

零点

• 若则称为的零点

• 零点是自变量的一个取值,而不是一个坐标点
• 是图形和轴的交点的横坐标(轴分量)

连续函数的性质

连续函数的四则运算

• 若都在处连续,则两函数经过四则运算后的在处也连续

• 对于除法运算,要求分母不为0

复合函数极限关系定理

• 设是由,复合而成的,,若,而在连续,则==

• 本定理和复合函数的极限运算法则相近,区别在于连续的条件下

• 极限改为值,(在处因连续而有定义)
• 且取消了的条件

函数符号和极限号交换次序

• 由上述定理进一步推导有:由于,=,所以=

复合函数的连续性👺

• 设函数在处连续(1),在处连续(2),且(3),则复合函数在处也连续
• 由连续和极限的关系可知,该定理表明=
• 证明:

• 由上述关系定理中增加条件(2),可令,这就表示在也连续,从而==
• 从而也在处连续

基本初等函数的连续性

• 基本初等函数在其定义域上是连续的

推论

• 初等函数在其定义域上都是连续的

反函数的连续性👺

• 设在某个区间上连续且单调,则其反函数在对应区间上同样连续单调,且单调性和相同的单调性
• 更具体地:设在某个区间上连续且单调,则其反函数在对应区间上同样连续单调,且单调性和相同的单调性
• 例如:和分别在和上单调增加且连续

• 在上单调增加且连续,则在上同样单调增加且连续

• 某些函数的反函数比较隐蔽,可以通过这个定理来确定反函数的单调性和连续性