文章目录
- 曲线弧长
- 参数方程表示的曲线弧长
- 直角坐标方程表示的曲线弧长
- 极坐标方程表示曲线弧长
- 小结
- 应用
- 例
- 例
- 旋转曲面面积👺
- 例
曲线弧长
- 曲线弧长同样可以用微元法来求解
- 我们用曲线的内折线的长度来逼近被求曲线弧长
- 设平面上的曲线
以
为端点,在
个点:
,链接
,
这些线段构成
- 当
不断增大,
不断接近于0时,若
的长度趋近于于一个极限值,则这个极限值就定义为
- 定理:光滑曲线弧是可求长的
参数方程表示的曲线弧长
- 设曲线
,
,
给出
- 其中
在
上具有连续导数,
不同时为0
- 取参数
为积分变量其变化区间为
的小弧段的长度
近似等于对应的弦的长度
,
- 因为
=
=
=
=
=
(0)
- 即参数方程确定的曲线上的弧长微分
- 所求弧长为
(1)
直角坐标方程表示的曲线弧长
- 设曲线弧由直角坐标方程
,
给出
- 其中
在
上具有一阶连续导数,此时曲线弧的参数方程表示为方程组
(2):
;
,
,参数为
- 从而问题转换为第一类问题,将方程组(2)代入(1),参数
替换为
;(积分变量
,积分限替换为
(3) - 类似的,曲线表示为
,
时,
=
极坐标方程表示曲线弧长
- 可同样转换为参数方程类型
- 设曲线弧由极坐标
,
给出,其中
在
上具有连续导数,则由直角坐标和极坐标转换公式可得该曲线弧的参数方程表示:
(4)
,
,
- 这就是以极角
为参数的曲线弧的参数方程
- 于是弧长微元由公式(0),得
=
=
=
(5) - 从而所求弧长为
(6)
小结
- 参数方程表示曲线的能力最强,上述3种情形的后两种曲线形式都可以转换为参数方程形式,从而进一步推导出曲线不同表示方式下的曲线弧长公式
- 这类问题计算展开比较冗长,并且往往需要用一些技巧来简化计算提高正确率,例如观察被积函数是否具有图形对称性或周期性,前者需要积分区间对称,后者需要找出或试探被积函数的周期(最好找到最小正周期,或者猜测一个值,并用周期函数的定义检验),来缩短积分区间,再乘以周期倍数;缩小积分区间是很有意义的,许多算式的符号可以在小的区间内被确定,从而简化计算
应用
例
- 设
,
,求曲线
- 分析:这是一个变上限定积分函数,并且被积函数包含绝对值
- 首先要根据积分区间
,即被积变量
)中包含的绝对值
=
=
=
=
=
,
+
=
,
- 因为这里要求与
- 令
=
=
+
=
=
例
- 求曲线
;
;
的弧长
- 其中
;
(1)
=
=
是一个周期函数,可以猜测其周期为
,根据
=
- 因此积分区间
可以收缩到
,乘以倍数
=4
- 得益于积分区间的收缩,此时
,
,再用
和式(1)进一步化简为
=
=
=
=
=
=
=
- 由式(1),
,从而
- 所以
=
旋转曲面面积👺
- 这部分在曲线弧长的基础上进行推导
- 用垂直于旋转轴的截面截旋转体,相邻截面很近,记为
,所截出来的部分为侧面积元素
- 这段高度为
的侧面被经过旋转轴的半平面截痕长度用弧长元素公式表示为
- 侧面积元素为
=
;其中
是侧面上的点到转轴的距离
- 根据不同形式的弧长元素
- =
- =
- =
- 在区间
上的曲线
的弧段绕
轴旋转一周所成的旋转曲面面积
,
- 若曲线由方程
,
,
给出,且
,
- 若曲线由
,
,绕极轴旋转一周所生成的旋转面的侧面积为
例
- 求心形线
,
,绕
- 解
- 分析图形:心形线是关于极轴对称的图形,因此旋转面只需要取
区间内的图形即可
- 套用公式
- =
- =
- =
- =
- =
- =