文章目录

• 平面上曲线积分和路径无关条件

• 曲线积分与路径无关的定义
• 等价描述
• 小结
• 充要条件定理

• 充分性
• 必要性

• 说明

• 线积分与路径无关时的计算👺

• 曲线积分与路径无关的三个等价命题

• 等价结论

• Newton-Leibniz二元函数形式
• 积分路径的简化

• 应用

• 例
• 例

平面上曲线积分和路径无关条件

• 问题对应的物理问题是,势场问题,即研究场力所作的功和路径无关的情形
• 重点是在什么条件下,场力所作的功和路径无关,对应数学上的问题是曲线积分和路径无关条件

曲线积分与路径无关的定义

• 设是一个区域,以及在区域内具有一阶连续偏导数

• 若内任意指定的两个点,以及内从的任意两条曲线,等式=(0)恒成立
• 则称曲线积分(1)在内与路径无关,否则说明路径有关

等价描述

• 若曲线积分和路径无关,则式(1)成立
• 而=(2)
• 代入式(1),得=,即+=(3)
• 观察到构成有向闭曲线,从而式(3)可以表示为=(4)

小结

• 在区域内由曲线积分与路径无关可以推得在内沿闭曲线的曲线积分为0

• 反之,若在区域内沿任意闭曲线的曲线积分为0,可以推得在内曲线积分和路径无关

• 曲线积分在内与路径无关相当于:沿内任意闭曲线的曲线积分(4-1),这种形式更便于论述

充要条件定理

• 下面介绍上述问题中的条件是什么(充要条件)
• 设区域式一个单连通域,若函数与在内具有一阶连续偏导数
• 则曲线积分在内与路径无关(或沿内任意闭曲线的曲线积分为0)的充要条件是=(5)(或写作在内恒成立

充分性

• 在内任意取一条闭曲线
• 这里要证的命题为:当条件式(5)成立时有(4-1)成立
• 因为是单连通的,所以闭曲线所围成的闭区域全部在内,于是由假定,式(5)在上恒成立
• 应用格林公式:= (6)由式(5)可知,式(6)左端为0
• 从而式(6)右端为0,这就证明了充分性

必要性

• 这里用反证法证明
• 这里要证的命题为:若沿着内任意闭曲线的曲线积分为0,则式(5)在内成立

• 假设上述命题不成立,那么内至少存在一点,使得(5)不成立
• 不妨设=(简写为)(7)
• 由于在内连续,可以在内取得一个以为圆心,半径足够小的圆形闭区域,使得在上恒有(8)
• 于是由格林公式和二重积分性质:

• =(9)

• 其中==
• 这里是的正向边界曲线,是的面积

• 因为所以即有式(9)左端(10)
• 是内的闭曲线,式(10)指出内的闭曲线的曲线积分不为0(大于0)
• 而我们知道(命题条件指出)内的闭曲线的曲线积分为0,因此式(10)与之矛盾,因此反证法中的假设不成立,即不存在这样的点,所以式(5)在内处处成立

说明

• 定理中要求2个条件:

• 式单连通的
• 在内有一阶连续偏导数

• 若两个条件之一不满足,则定理结论不一定成立
• 例如,即使区域仅有一个点不满足判定式(5)(比如无定义),就不能保证式(4-1)成立,因为点破坏了函数的连续性,点通常称为奇点

线积分与路径无关时的计算👺

• 如果通过判定在单连通区域内恒成立,则有两类计算线积分的简化方法

• 该路径为简单路径
• 利用原函数

曲线积分与路径无关的三个等价命题

• 设曲线是属于区域内的曲线

1. 与路径无关
2. 
3. =(参见全微分求积相关内容)

等价结论

• 数学上可以证明:

1. 若只讨论(1),(3)的等价时,不要求区域是单连通的
2. 而(1),(3)中的某一个和(2)等价时,或者说(1)(2)(3)等价时,就要求是单连通的

Newton-Leibniz二元函数形式

• 设函数是二元函数原函数

• =(1)
• 其中=(1-1)

• 而计算二元函数的原函数可以用偏积分或凑微分的方法

• 虽然线积分可以用来求二元函数的原函数,但是这里目的是计算线积分,
• 因此应用公式(1),求原函数时用偏积分或凑微分的方式求

积分路径的简化

• 简化积分路径,将非曲线改为直线段或折线段
• 通常优先化为各段坐标轴平行的直线路径,而不一定是两点间的直线段,除非两点间直线段和某个坐标轴平行)
• 有时也不是改造成直线段或折现段,还可能使圆弧

应用

例

• 设为椭圆=1上由到点的上半椭圆
• 计算下列积分

1. (1)
2. (2)

解

• (1)试探积分是否与路径无关,==,可见,和路径无关

• 那么可以考虑啊E2中做法
• 方法1

• 这里直接改为线段,其方程为(代入式中)化简
• 从而问题化简为==

• 方法2

• 考虑全微分的原函数,前提也是积分与路径无关
• 的被积表达式可以凑成,从而==

• 这个操作类似于定积分中的Newton-Leibniz公式,再二元函数中,自变量成了二维点而已,而且是起点到终点

• 当原函数容易确定(凑出),则用方法2,否则用方法1

• (2)试探积分是否与路径无关,==,

• 考虑到分母为,因此并不是整个平面都满足路径无关
• 此时可以考虑创建一个局部区域,它不包括点,在内继续考虑积分路径无关的性质计算
• 此时改成直线会经过点因此不合适
• 而改成折现需要多次弯折不方便
• 这里考虑改造成圆弧(端点为,且为直径)
• 则改造后的路径方程为;将其代入到中,使分母变为常数:

• =(2-1)

• 积分路径更改为(半圆弧)
• 这个积分用的参数方程,代入(2-1)式可以算
• 虽然不是闭曲线,但我们可以考虑通过补线,补充一个半圆(带直径边),记为区域,使之可以用格林公式简化计算

• 然而格林公式的使用要注意闭曲线的方向,原来是顺时针
• 而也从再的方向和闭区域的正方向(应为逆时针)相反,从而格林公式转为二重积分计算时前面要加负号

• 若记=,,(仔细区分),==

• ====(注意负号)
• ==(对称性和奇函数,直接得出结果为0)

• 由式(2-1),从而===

例

• 

• 和;
• 可以验证,当时

• ==,,
• 平面在外满足曲线积分与路径无关

• 这里我们应用上述等价的第一条,避开对单连通的要求
• 可以通过直接凑全微分:==
• 从而是被积函数的一个原函数,则==