文章目录

• abstract
• 曲线积分和二重积分的关系

• 平面单连通区域
• 边界曲线的正方向
• 二元函数的定积分
• 格林公式👺
• 证明

• 既是又是型的区域
• 其他情形区域类型
• 复连通区域
• 辅助线分割

• 应用和实例

• 面积问题
• 例
• 例
• 例
• 例

• 平面上曲线积分和路径无关条件

• 曲线积分与路径无关的定义
• 等价描述
• 小结
• 充要条件定理

• 充分性
• 必要性

abstract

• 格林公式是牛顿莱布尼兹公式在二重积分中的体现

• Newton-Leibniz公式:=,即:=(0)

曲线积分和二重积分的关系

• 在平面闭区域上的二重积分可以通过沿闭区域的边界曲线上的曲线积分来表示

平面单连通区域

• 设为平面区域,若内任意一闭曲线所围的部分都属于,则称为平面单连通区域,否则称复连通区域
• 通俗地说,平面单连通区域就是不含有洞(包括点洞)的区域,而复连通区域就是包含洞的区域
• 平面单连通区域例如:

• 
• 

• 复连通区域例如:

• 
• 

边界曲线的正方向

• 对平面区域的边界曲线,规定:

• 的正向为:当观察者沿的正方向行走时,内在他近处的那一部分总是在他左边

• 例如,一个平面圆环区域,有2条边界线,其外边界的正方向为逆时针方向,而内边界的正方向为顺时针方向

二元函数的定积分

• 设可偏导,则存在,且=

• 对二元函数的积分相当于二元函数偏微分的逆运算
• 例如,以二元函数的自变量为积分变量求积分,就把看作常数,即化为一元函数定积分:
• 若=,=

格林公式👺

• 设闭区域由分段光滑的曲线围成,若函数,在上具有一阶连续偏导数(显然本身连续),则=(1),该公式称为格林公式

• 其中是的取正向的边界曲线
• Note:对于复连通区域,个边界做曲线积分时的曲线弧方向取对于是正向的方向
• 如果在某处不连续,那么不能直接应用格林公式,可以考虑挖洞(这引入了新的边界),来利用格林公式,然后把引入的新边界去掉(相应的曲线积分)

• 公式(1)的简单写法:=(1-0-0)
• 公式的逆用:=(1-0-1)

证明

• 我们将式(1)拆成两部分证明:

• =(1-1)
• =(1-2)

既是又是型的区域

• 假设穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与的边界曲线的交点恰好为2点,即区域即是型,又是型

• 设区域由矩形或平行四边形拉伸而来,其中分别在正上方,

• 对,两线段内分别取,
• 对三点分别下拉若干距离,分别向上拉伸若干距离,拉伸过程保持各段曲线光滑,分别是弧(记为)的唯一极小值点,(记为)的唯一极大值点
• 记弧为,弧为
• 的坐标都为,的坐标都为,设
• 的坐标分别为,

• 先讨论型区域

• 设=
• 因为(即,是二元函数)连续,所以根据区域并由二重积分的计算方法(化为累次积分):

• =
• 其中对积分,将视为常数,应用Newton-Leibniz公式:
• 从而=(2-1)
• 另一方面,由对坐标的曲线积分的性质和公式

• =+++

• =
• =+
• =-
• =(2-2)

• 比较(2-1,2-2)可得(1-1)

• 在讨论型区域(同样是那个区域)

• 设=

• 
• 

• =

• ==
• =(3-1)

• =+

• =+
• =+
• =(3-2)

• 比较(3-1,3-2)可知(1-2)成立

• 可见对于既是型又是型的区域,(1-1,1-2)同时成立,合并它们得到式(1)
• 对于旋转后的区域类型也类似可证明式(1)成立

其他情形区域类型

• 通过引入辅助线分割法,将区域分成有限的几个部分闭区域,将问题转化为若干个第一类情形

• 例如分割成,对,分别应用公式(1),
• 将得到的三个等式相加,并注意将相加时沿辅助曲线来回的曲线积分相互抵消,便仅剩下边界曲线
• 可得公式(1)仍然成立

• 综上,公式(1)对于分段光滑曲线围成的闭区域都成立

复连通区域

• 对于复连通区域,公式(1)右端应包括沿区域的全部边界的曲线积分,各边界的方向对区域都是正向的

辅助线分割

• 通常辅助线是平行于坐标轴的,在不满足既形又是形的区域下(包括复连通区域),都使用辅助线来转换为前一种情形

应用和实例

• 利用公式(1),可以将第二类曲线积分问题转化为二重积分计算

• 这需要根据曲线积分中的两函数构造偏导组合式
• 当直接计算曲线积分繁琐而的二重积分容易计算时,使用公式(1)可以简化计算
• 这种转换可以避免求积分弧段的参数方程,如果参数方程比较复杂时就可以考虑格林公式的此用途

• 反之亦然,二重积分可以考虑转化为曲线积分计算

• 这首先从二重积分中确定两个函数
• 设二重积分被积函数为
• 例:,则可以令,即,

• 可分别取,
• 取法不唯一,尽可能简单

• 此外,格林公式可以用于求解有向曲线弧满足一定特点但是没有具体方程的情形
• 二重积分化为第二类曲线积分时要考虑方向(积分区域边界的正方向作为曲线积分的积分弧段的方向)
• 反之,第二类曲线积分化为二重积分求解时,如果曲线积分的曲线是区域的负方向,则在二重积分数值后取一个负号

面积问题

• 合适的函数代入格林公式可以解决特定类型的问题
• 令公式(1)中,,则==(4)

• 式(4)右端表示闭区域的面积的2倍,因此=(4-1)

• 公式(4-1)指出,可以通过构造合适的第二类曲线积分,可以用来求解闭区域的面积

• 构造的2个被积函数为

例

• 计算,其中

• (1)为正向圆周
• (2)为上半圆周,方向从

• 解:
• (1)

• 令,
• 构造=
• 则由公式(1),====

• (2)

• 为了使用格林公式,需要将半圆周补充一条直径使得半圆构成封闭区域
• 然后减回去一条直径,表示为:

• 令被积函数=
• =-
• ===

• 这个二重积分计算的快捷方法是利用对称性和偶函数
• 被积函数关于的偶函数,而且积分区域关于对称,从而为上一问结果的,即

• ===0

• 所以=

例

• 计算,其中为,,为顶点的三角形闭区域

• 令==,则,满足=
• 由公式(1),===+0+0===

• 其中==0;

• ==0

例

• 椭圆,面积
• 根据公式(4-1),====

• 虽然曲线起点和终点位于同一位置,但这里取它们为不同的参数值,参数对应的积分区间处理为,可以避免分段
• 如果要分段,可以分别计算上半椭圆和下半椭圆(两个半椭圆的含有区间对应的线段,才能构成独立的闭区域,分别利用公式(4)计算)

例

• 计算;其中是一条无重点(仅首尾有重合点),分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,的方向为逆时针
• 解

• 令=;=
• 当,=,=;则=(1)
• 记所围成的闭区域为,

• 当时,由格林公式,==0(2)
• 当时,此时是复连通区域,

• 选取适当小的,作位于内的圆周(3),记所围成的闭区域为;而围成的小圆记为
• 对应用格林公式

• ==(4),这里取顺时针方向(相对于是正方向)
• ==0(5)
• = (这里代入了式(3),将被积函数分母化为非零常数)

• =,

• 为逆时针,此时在上连续,从而可以应用格林公式

• ==
• ==(6)

• ===

• Note:上述方法不是唯一的方法

平面上曲线积分和路径无关条件

• 问题对应的物理问题是,势场问题,即研究场力所作的功和路径无关的情形
• 重点是在什么条件下,场力所作的功和路径无关,对应数学上的问题是曲线积分和路径无关条件

曲线积分与路径无关的定义

• 设是一个区域,以及在区域内具有一阶连续偏导数

• 若内任意指定的两个点,以及内从的任意两条曲线,等式=(0)恒成立
• 则称曲线积分(1)在内与路径无关,否则说明路径有关

等价描述

• 若曲线积分和路径无关,则式(1)成立
• 而=(2)
• 代入式(1),得=,即+=(3)
• 观察到构成有向闭曲线,从而式(3)可以表示为=(4)

小结

• 在区域内由曲线积分与路径无关可以推得在内沿闭曲线的曲线积分为0

• 反之,若在区域内沿任意闭曲线的曲线积分为0,可以推得在内曲线积分和路径无关

• 曲线积分在内与路径无关相当于:沿内任意闭曲线的曲线积分(4-1),这种形式更便于论述

充要条件定理

• 下面介绍上述问题中的条件是什么(充要条件)
• 设区域式一个单连通域,若函数与在内具有一阶连续偏导数
• 则曲线积分在内与路径无关(或沿内任意闭曲线的曲线积分为0)的充要条件是=(5)(或写作在内恒成立

充分性

• 在内任意取一条闭曲线
• 这里要证的命题为:当条件式(5)成立时有(4-1)成立
• 因为是单连通的,所以闭曲线所围成的闭区域全部在内,于是由假定,式(5)在上恒成立
• 应用格林公式:= (6)由式(5)可知,式(6)左端为0
• 从而式(6)右端为0,这就证明了充分性

必要性

• 这里用反证法证明
• 这里要证的命题为:若沿着内任意闭曲线的曲线积分为0,则式(5)在内成立

• 假设上述命题不成立,那么内至少存在一点,使得(5)不成立
• 不妨设=(简写为)(7)
• 由于在内连续,可以在内取得一个以为圆心,半径足够小的圆形闭区域,使得在上恒有(8)
• 于是由格林公式和二重积分性质:

• =(9)

• 其中==
• 这里是的正向边界曲线,是的面积

• 因为所以即有式(9)左端(10)
• 是内的闭曲线,式(10)指出内的闭曲线的曲线积分不为0(大于0)
• 而我们知道(命题条件指出)内的闭曲线的曲线积分为0,因此式(10)与之矛盾,因此反证法中的假设不成立,即不存在这样的点,所以式(5)在内处处成立

说明

• 定理中要求2个条件:

• 式单连通的
• 在内有一阶连续偏导数

• 若两个条件之一不满足,则定理结论不一定成立
• 例如,即使区域仅有一个点不满足判定式(5)(比如无定义),就不能保证式(4-1)成立,因为点破坏了函数的连续性,点通常称为奇点