我们用一流科学家伽利略的话结束, 他听到了从自然界各个角落反射回来的数学的回声。说到数学的实用性, 再没有比伽利略谈论宇宙时的这段描述更简洁的了：宇宙是一本“大书”, “在掌握它的语言并学习组成它的符号之前, 你是无法理解它的。它是由数学语言写成的”。
来源 | 《建筑中的数学之旅（修订版）》
作者 | [美]亚力山大·J. 哈恩（Alexander J. Hahn）
译者 | 李莉
图 7-1
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图 7-2
图 7-3
根据以上内容，可推出一个重要结论：
如果f的图形在(c,f(c))处有一高点或低点，则在c点，有f'(c)=0或f'(c)不存在（没有定义）．
满足f'(c)=0或f'(c)不存在的数字c称为函数f的临界点．
可以用上述事实来分析函数f的性质，方法如下．计算导数f'并确定的所有临界点．设c1＜c2＜…是所有的临界点．f在c1的左边处处可微，否则c1的左边会有一个临界点．（实际上，不可能存在这样的点，因为c1是第一个出现的临界点．）由于任何递增或递减转换点都将在c1左侧产生临界点，因此对所有x＜c1，都有f'(x)＞0（故f递增）或者f'(x)＜0（故f递减）．由同样的推论可知，f在任何两个相邻的临界点之间可微，并且在它们之间的区间内单调递增或单调递减．用同样的方法可知，对右边最后一个临界点也有相似的结论．现在只剩下检查所有临界点c1,c2,…，确定f的图形中是否存在高点、低点或二者均不存在．
图7-4绘出了函数y = f(x)的图形，用图形解释了上述问题．数c1,c2,…，c9是临界点的全部集合．函数的图形在每个区间x＜c1,c1＜x＜c2,c2＜x＜c3,…,c9＜x上均平滑，且函数在这些区间内要么单调递增，要么单调递减．因为图形在c1和c2处到达尖点（故f在c1或c2均不可微），所以这两个点是临界点．因为图形在c4和c6处有间隙因而没有切线（故f在c4或c6均不可微），所以这两个点是临界点．因为图形在c8处的切线是垂直的（故f在c8不可微），所以这个点是临界点．因为图形在c3、c5、c7和c9处有水平切线（故在这些点导数等于0），所以这些点是临界点．注意图形在c1、c3、c6和c9处有高点，在c2和c7处有低点，在c4处有“无底洞”．函数在c1、c3、c6和c9处有极大值，在c2和c7处有极小值．
图 7-4
图 7-5
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图 7-6
图 7-7
图 7-8
图 7-9
图 7-10
《建筑中的数学之旅（修订版）》
作者：[美]亚力山大·J. 哈恩（Alexander J. Hahn）
译者：李莉
科学的绝美瞬间，再现人类塑造宇宙观的非凡力量
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美国诺特丹大学数学系教授诚意之作
