多元函数奇偶性

多元函数的定义域

• 定义域根据函数的变量数不同,有不同的形式

• 一元函数,定义域可以是数集
• 二元函数,定义域可以是一平面区域,是平面点集
• 三元函数,定义域是一块空间区域,是空间点集
• …
• 圆函数,定义域为维点集

自然定义域

• 根据仅根据表达式本身是否有意义来判定定义域

• 比如分式中分母不为0
• 偶次根式内不可为负数
• 对数函数的真数为正数

特定定义域

• 根据实际需要或者认为规定的的区域,比如给定积分区域(积分限)

元函数

• 是一个元函数,记为

• 其中表示函数的第个自变量

奇偶性

• 一般讨论的是关于某个自变量的奇偶性
• 设元函数,是关于的偶函数,则=
• 若是关于的奇函数=

一元函数

• 若为偶函数:关于(轴)对称
• 若维奇函数:,关于(原点)对称

二元函数

• 以分量为例

• 奇函数:,函数关于点对称

• 设是上的点,,而==
• 则也位于上
• 两点的位置关系?

• 方法1:

• 显然两个点有相同的轴坐标,从而它们必然同时位于平面上
• 并且两个点有互为相反数的轴坐标,位于平面两平面交线上,而位于两平面的交线上,这两条交线关于原点(或轴)对称,分别和平面所截,得到两点
• 因此两点关于对称

• 方法2:

• 由两点间坐标公式,=,可知两点关于对称
• 点位于直线上(即轴上)
• 因此两点关于对称

• 因此,函数的图形关于轴对称

• 偶函数:,函数关于平面对称

• 设是上的点,,而==
• 则也位于上
• 由中点坐标公式:的中点为,该点属于平面
• 两点关于(即坐标面面)对称
• 因此函数的图形关于面对称

• 分量类似地讨论

小结

• 在一元函数中,偶函数是关于直线对称,而奇函数关于点,即对称

• 点表示为

• 在二元函数中,偶函数是关于面对称,而奇函数关于直线对称

• 点表示为
• 以自变量为例,关于的偶函数图形关于面对称,奇函数图形关于,即轴
• 而对于自变量,关于的偶函数图形关于面对称,奇函数图形关于,即轴

• 也就是说,对称中心都上升了一个维度,从点到线,从线到面
• 本质上都是两点关于它们的中点对称,分析中点的特点来判断对称中心是什么

结论分析和记忆👺

• 对于一元奇(偶)函数为,自变量轴为轴
• 自变量沿着从原点(或正区间内第一点有定义的处)开始,分析曲线变化

• 若是奇函数,向轴正方向进行的变化情况与负方向的变化情况相反
• 若是偶函数,向轴正方向进行的变化情况与负方向的变化情况相同(对称)

• 对于二元奇(偶)函数,自变量设为,分析曲面的变化情况

• 若是关于的奇函数,向轴正方向进行的变换情况与负方向的变化情况相反
• 若是关于偶函数,向轴正方向进行的变化情况与负方向的变化情况相同(对称)

推广

• 更一般的

• 对于元函数,视为维空间,将写维点的形式:
• 若关于自变量为奇函数(以为例),那么,,其对称中心点为,对称中心为超平面;(即令第维自变量取0和最后意味取)
• 若关于自变量为偶函数(以为例),那么,,其对称中心点为,对称中心为超平面
• 当时,情形类似

应用和实例

例

• =,假设的定义域(区域)是关于轴对称的区域(比如其自然定义域下)

• 那么显然,关于是奇函数;图形关于轴对称
• 同时是关于的偶函数,图形关于平面对称

二元绝对值不等式确定的区域

• ,
• 二元一次绝对值方程对应的草图

• 对于,前去绝对值

• ,;,
• ,,,

• 得到四个二元一次方程:在平面直角坐标系中对应于4条直线段

• 四条直线段所在直线分别转换为斜截式:;;;

• 将他们分别绘制,得到一个边长为1的正方形(菱形)