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• 第二类曲线积分,即对坐标的曲线积分

对坐标的曲线积分

变力沿曲线所做的功

• 力是矢量,具有方向属性,从便利沿曲线做功的问题抽象出第二类曲线积分的定义
• 变力的表示:这里用向量的坐标分解式表示力
• 设一个质点在面内受到力=(0)的作用,从点沿光滑曲线弧移动到点,其中函数和在上连续

• 质点从位置点的过程中位置坐标记,每个位置对应的力为,这就是函数和曲线弧的关系;这里假设曲线弧时光滑的
• 而函数在曲线弧上连续保证了上的任意位置都有连续(不会出现无定义的情况或突变)

• 现在问题是计算上述移动过程中所做的功

平均功(恒力做功)

• 一种最简单的情形是为恒力,且质点从沿直线移动到,那么恒力所做的功为向量与向量的数量积,即(1)
• 恒力:可以令式(0)中的取得一组确定得值,即

变力做工

• 现在是变力,且质点沿的是曲线移动,功显然无法直接按照式(1)计算
• 这里可以采用微积分的方法来合理的应用公式(1)于更一般的情形

弧段微分

• 先用曲线弧上的点,,,(2)把分成个小弧段
• 取其中一个有向小弧段做分析

• 由于光滑且很短,可以用有向线段=(3)近似代替
• 其中=,=(3-1)

• 由于,在上连续,可以用上任意曲定的一点处的力=(4)来近似代替这小弧段上各点处的力
• 这样变力沿着有向小弧段所做的功可以近似地等于恒力,沿着所作的功:

• (5),即(5-1)

• 于是= (6)
• 若用表示个小弧段的最大长度,令取式(6)的极限,所得极限自然地被认为式变力沿有向曲线段所做的功:

• =(7)

• 这种和的极限在研究其他问题时也会遇到,将其抽象为第二类曲线积分

第二类曲线积分的定义

• 设为面内从点的一条有向光滑曲线弧;函数和在上有界

• 和第一类曲线积分中曲线的无向性相比,第二类曲线积分的曲线强调有向

• 在上沿的任意方向插入点列,把分成了个有向小弧段

• ,;
• 设=,=
• 点为小弧段上任意曲定的一点

• 作乘积,;(1)作和,(2)
• 若当各个小弧段长度的最大值时,式(2)的极限总是存在,且于曲线弧的分法和的取法无关,则称此极限为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分,记为
• 类似地,若总是存在,且与曲线弧的分法及点的取法无关,那么称此极限为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分,记为
• 综上有公式组:

• =(3)
• =(4)

• 两个积分称为第二类曲线积分
• 其中,称为被积函数,称为积分弧段

函数在曲线弧上连续

• 讨论第二类曲线积分时,总假定在上连续(第二类曲线积分总是存在)
• 函数在曲线上连续,应当是在上处处连续
• 严格地说,向量值函数函数在曲线上连续是指:

• 对上任意点,当上的动点沿趋于时,有
• 若=,则在上连续等价于与均在上连续

推广:空间曲线弧的第二类曲线积分

• 上述第二类曲线积分是在平面上定义的,可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情形:

• =(5)
• =(6)
• =(7)

常用形式和简写

• 两个二类曲线积分的和的形式:+(8)可以简写为

• (9)

• 取消掉第二个积分号,而用一个积分号对两个被积表达式做二类曲线积分

• 或者写成向量形式:,(10)

• 这里都是向量,表示向量内积,不省略
• 其中=(10-1)为向量值函数
• =(10-2)

• 类似地,++可以简写成

• (11)
• 或:,

• 其中=++;
• =

利用第二类曲线积分表示变力做功

• 讨论变力做功时,所做的功可以表示为式(8)或(9)或(10)

性质

• 线性性质:

• 设为常数,=+(1)

• 可加性:

• 若有向曲线弧可分成两段光滑的有向曲线弧,则:=+(2)

• 反向弧性质:

• 设是有向光滑弧,是反向曲线弧:=(3)
• 证明:把分成小段,相应的也分成小段,对于每个小段弧,当曲线的方向改变时,有向弧在坐标上的投影,其绝对值不变,但是要改变符号,就得到(3)
• 此性质表明,当积分弧段的方向改变时,对坐标的曲线积分要改变符号,因此对坐标的曲线积分要区分积分弧段的方向
• 本性质是对坐标曲线积分特有的性质,对弧长的曲线积分不具有这类性质)
• 相应的,对弧长的曲线积分也有独占的性质(被积函数大小的性质 )

计算方法

• 第二类曲线积分仍然是转化为定积分计算
• 设在有向曲线弧上有定义且连续,的参数方程为

• 
• 

• 当参数单调地从时,点从的起点沿运动到终点,若在以为端点的闭区间上具有一阶连续导数,且(0)
• 则曲线积分存在,且有公式=(1)

证明

• 推导过程应用微分中值定理和一致连续性,以及连续函数性质,连续函数积分存在

对坐标

• 在上取一列点:
• 设它们对应于一列单调变化(递增或递减)的参数值(2)
• 根据对坐标的曲线积分的定义(对坐标):=(3)
• 设点对应于参数,即,(4)这里在之间
• 由于=(5)应用微分中值定理,式,=,(5-1)介于之间
• 将(4),(5-1)代入(3),于是式(3)可改写为(6)
• 因为函数在区间或上连续,由一致连续性知识,可以把替换为,从而式(6)改写为(7)
• 式(7)的和的极限就是定积分(8)
• 由连续条件和连续函数的性质,被积函数连续,因此积分式(8)存在,所以存在,且=(9)

对坐标

• 类似上述推导,可证=(10)

相加

• 将式(9,10)相加:

• =
• =+,(11)

• 这就证明了公式(1)

积分限和曲线弧起止点

• 式(11)中,积分下限对应于的起点,上限对应于的终点

公式的应用

• 公式(1)或(11)表明,计算曲线积分时,只需要将依次替换为
• 在处理有向弧对应的参数:

• 从的**起点所对应的参数值到的终点所对应的参数值**做定积分即可
• 这里大小关系无限制,不一定小于,这和第一类曲线积分不同

公式的其他形式

• 若有方程或给出,可以看作参数方程的特例
• 例如:当有,给出时(可以视为或直接,参数为,公式(1)改写为=(12)

• 分别对应的起点和终点

推广

• 公式(1)可以推广到空间曲线由参数方程,,给出的情形
• 此时=
• 分别对应的起点和终点