文章目录
- abstract
- 向量的基本概念
- 向量
- 向量的坐标分解式和坐标👺
- 向量的模@向量的长度(大小)👺
- 零向量
- 单位向量👺
- 方向向量
- 非零向量的单位向量@正规化
- 向量夹角👺
- 向量方向角和向量间夹角@投影
- 几何描述向量的线性运算
- 向量的加减运算
- 向量的三角形三边不等式
- 数乘
- 方程的思想求解向量相关问题
- 向量的线性运算的坐标表示公式
abstract
- 向量代数@向量基本概念和向量线性运算
向量的基本概念
- 平面向量和空间向量是类似的,这里主要以空间向量为主讨论
向量
- 既有大小(模)又有方向的量,称为向量(或矢量)
- 印刷体常用黑体字母表示向量
- 手写通常用头箭头表示向量
- 向量的大小也被称为模
- 只考虑方向和大小(而不考虑起点)的向量称为自由向量
- 这里的向量是抽象向量的一个简化版本
个数构成的数组,而在例如高等代数中讨论的,在线性空间中有含义更加广的向量以及更加深刻的性质研究
向量的坐标分解式和坐标👺
- 向量的坐标(表示):
- 向量的终点在坐标轴上的投影坐标
叫做向量
的坐标,记为
- 向量的坐标分解式=
- 更多详见向量坐标分解式相关章节
向量的模@向量的长度(大小)👺
- 向量的模:
,则
=
- 在空间直角坐标系中,该公式是根据勾股定理得到
,这里假设
- 如果引入矩阵乘法(向量内积)的表示方法,还可以写作
,其中
分别是行向量以及其转置得到的列向量
零向量
- 零向量:模为0的向量称为零向量,其方向可以看作任意的,记为
或
- 由于零向量与另一个向量的夹角的取值在
内任意取值,因此可以认为零向量和任意向量平行,也可以认为零向量和任意向量垂直
单位向量👺
- 单位向量:模为1的向量称为单位向量
- 通常向量
- 对于给定的一个方向
,记该方向的单位向量为
或
或
,或
- 每个方向都有单位向量,方向相同的向量的单位向量完全相同
- 不同方向的单位向量长度都为1,但是方向不同
- 向量的坐标和单位向量表示加法表示
- 取
,
,
,它们分别是
轴的方向单位向量
- 则
方向向量
- 这个概念在讨论解析几何中的直线时,直线的点向式方程由直线的某个方向向量和直线上的一个点确定
- 方向向量不一定是单位向量
- 例如,直线
过
,直线的某个方向向量为
,则方程可以表示为
=
非零向量的单位向量@正规化
- 设非零向量
=
- 使用范数表示
表示向量
的
范数
的长度一定是1
=
=
向量夹角👺
- 向量夹角
- 设向量
,则他们的夹角记为
- 若
,则
同向
- 若
,则
- 两者统称为
- 若
,则
- 若
,
同向
- 若
,
- 若
,则
向量方向角和向量间夹角@投影
- 另见向量的方向角和方向余弦@向量间夹角余弦@投影和向量分量
几何描述向量的线性运算
- 平面二维向量和空间三维向量的运算类似
向量的加减运算
- 借助平行四边形或三角形法则,从几何的角度描述向量的加法和减法
- 并且减法可以转换为加法
- 向量加减运算的代数(坐标)运算比较简单,只需要将向量对应分量相加减:
=
- 向量加法满足交换律和结合律
=$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}
\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
- 并且
向量的三角形三边不等式
- 由三角形两边之和大于第三边,对应向量三角形法则下的向量加法和向量减法满足不等式:
=
- 等号在
同向或反向时成立
数乘
- 设
是一个数,
是一个向量,
- 当
,
与
同向
- 当
,
- 当
,
- 代数表示:设
,则
=
=
=
- 向量的数乘满足结合律和分配律
方程的思想求解向量相关问题
- 例如求空间中满足某个特征的点的坐标
- 使用建立方程并解方程的方法可以简化思维过程
- 设
,
- 其中:
=
=
- 所以
=
=
=
向量的线性运算的坐标表示公式
- 利用坐标作向量的线性运算(加法,减法,数乘)是方便的
- 向量的坐标分解式对应了坐标在各个轴上的分量
- 利用相关交换律和结合律,可得
=
=
=