EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算-摩杜云开发者社区

文章目录

abstract

分段函数的一般表示

分段函数复合的基本问题

分析
算法
例
例

函数的初等运算构成的函数

复合函数的定义域
函数的运算

abstract

复合函数和分段函数的表示和应用
复合函数中我们讨论过函数 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_复合函数$ 复合为 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_02$ 的条件是 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_03$ ,并且 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_02$ 的定义域为 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_复合函数_05$
函数间的初等运算

分段函数的一般表示

若 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_06$ 是 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_07$ 段分段函数,第 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_08$ 段的解析式记为,定义域记为 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_10$ 则分段函数可以看作 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_07$ 个函数拼接成一个函数:可记为 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_12$ , $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_复合函数_13$

分段函数复合的基本问题

若 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_12$ , $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_复合函数_13$ ; $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_16$ , $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_17$ ,求 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_18$ ?

分析

上述问题显然需要分段讨论
为了使得问题表达的更加清晰和便于讨论,我们引入中间变量 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_19$ 代替字母 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_20$ 来改写函数,即

$EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_复合函数_21$ ; $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_22$
其实改为 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_复合函数_23$ ; $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_24$ 也可以

基本思想是通过 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_25$ 筛选出满足 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_定义域_26$ 的定义域 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_复合函数_27$ ,其中包含了分段(函数)不等式问题这个过程中自然得到 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_定义域_28$ 的结果

算法

根据范围求出解集 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_复合函数_30$ , $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_31$ (分段不等式问题)

若 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_定义域_32$ ,且 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_33$ ,则 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_定义域_34$ 在 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_35$ 区间内可以复合为 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_36$ , $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_37$ , $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_38$
或者更直接地 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_定义域_39$ ,若 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_复合函数_40$ ,则 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_41$ = $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_42$ , $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_43$ ,这个过程会产生 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_44$ 个不等式(其中可能包含解集为空集的不等式,这种情况应舍去,属于无法复合的区间)

分段不等式问题中,我们可以借助数形结合的方式,绘制 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_45$ 的图像草图,在根据得出自变量 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_20$ 的取值范围 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_48$ ,从而得到复合函数 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_定义域_49$ , $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_复合函数_50$ , $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_31$

例

$EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_定义域_52$
$EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_53$
求 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_54$
解

初步复合

$EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_55$

进一步展开

$EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_定义域_56$

化简

$EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_57$
舍去空集定义域部分
$EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_58$

例

$EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_59$
$EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_60$
$EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_复合函数_61$

函数的初等运算构成的函数

复合函数的定义域

$EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_复合函数_62$ 的定义域为 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_63$ , $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_函数_64$ 的定义域为 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_复合函数_65$ ,令 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_定义域_66$ ,
的定义域是 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_68$ ,而不是 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_定义域_69$
例如: $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_定义域_70$ , $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_定义域_71$ ,则 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_定义域_72$ = $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_复合函数_73$ 的定义域是 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_定义域_74$ ,而不是

函数的运算

设函数 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_复合函数_76$ 的定义域依次为,
若两函数的定义域交集非空,即,则规定:这两个函数的下列运算:

$EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_79$ : $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_定义域_80$ = $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_81$ , $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_82$
$EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_83$ : $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_84$
$EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_分段函数_85$ : $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_86$ = $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_87$ , $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_88$ ,这里 $EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算_ci_89$ 表示求相对补集(差集)