文章目录

• abstract
• 等幂差

• 等比数列性质推导
• 二项式展开的思路

• 等幂和

• 奇次方幂之和
• 偶次方幂之和
• 证明等幂差

• ref

abstract

• 讨论整数指数幂中等幂和差的展开
• 这里讨论的等幂指的是指数相等的两个幂
• 并且仅在整数指数幂范围内讨论,实指数幂范围内此处不讨论
• 两个n次方幂值差展开公式

• =
• 两个立方数值差

• 两个奇数次方数之和展开公式

• =
• 两个立方数之和
• 其中等幂和可以由等幂差公式直接变式得到

等幂差

• 等幂差展开公式可以展开为如下公式

1. =
2. =
3. =
4. =,
5. =,

• 例如时:
• 公式特点

• 公式右边分为2部分,和求和部分,求和式共有项,每项的幂都是次幂
• 上述5种书写形式以最为优雅;推理的时候形式最为协调,
• 形似(1)不使用连加号而使用省略号表示可能使最有利于发现规律和简化的

• 可以结合多项式的次数和余式定理来理解记忆公式
• 应用:整数幂不等式性质:,

等比数列性质推导

• 对于,构造等比数列,,;令数列的前项和为,

• 当首项的时候,等比数列前项和退化为更加简单的形式:
• ===(1)
• 将表示为的求和式==(2)

• (1)代入,得到====,
• 从而=

• ===
• ==

• =
• =,

• 特别的,时,==

二项式展开的思路

• 令,则
• 从而===

• =
• =
• =
• =
• (TODO)
• =

等幂和

奇次方幂之和

• 对于两个奇次方幂之和,,可以按如下有n次方数之差推导:

• 为奇数的情况下

• =,即可将带入到等幂差公式中得到奇数等幂和公式

• 其中,a的指数与b的指数之和为n-1

• 例如,,

偶次方幂之和

• 偶次方幂之和的因式分解展开比较奇次方幂不容易展开
• 例如在实数范围内无法因式分解,复数域内:

证明等幂差

• 不从推导的角度,从结论的角度证明等幂差展开公式的正确性

展开证明

• ,

• =-
• =-
• =-
• =--
• =+--
• =

ref

• 等幂和差 (wikipedia.org)