文章目录

• abstract
• 无穷限反常积分

• 敛散性
• 无穷限反常积分运用微积分基本公式
• 例
• 例

• 无界函数的反常积分

• 敛散性
• 瑕积分应用微积分基本公式
• 例
• 隐含瑕积分

abstract

• 在一些实际问题中,常会遇到积分区间为无穷区间,或者被积函数为无界函数的积分,它们已经不属于定积分了.
• 因此,我们对定积分作如下两种推广,借助极限定义反常积分的概念.
• 反常积分包括无穷限反常积分和无界函数的反常积分(瑕积分)

无穷限反常积分

1. 设函数在上连续,任取,作定积分,再求变上限定积分极限:(1),式(1)称为函数在无穷区间上的反常积分记为=(2)
2. 类似的,设在上连续,任取,算式(1-1)称为在上的反常积分,记为=
3. 综合前两种情形,设函数在上来连续,反常积分和之和称为在无穷区间上的反常积分,记为

敛散性

• 若式极限(1)存在,则称(2)收敛,并称此极限值为(2)的反常积分值

• 否则,(2)发散

• 类似的,有另一侧和双侧无穷限反常积分的敛散性和反常积分值定义

无穷限反常积分运用微积分基本公式

• 设为在上的一个原函数

• 若存在,则==(3)
• 若不存在,则发散

• 若记=,=,(3-0)

• 当存在时,式(3)可以作=(3-1)
• 当不存在时,反常积分发散

• 类似的,另外两种情形的反常积分有相仿的表示方法

• =
• =

• Note:

例

• ==-==
• 这个反常积分的几何意义表明,虽然曲线与轴围成的区域是无限延申的,但它的面积却不是无限大的,而是有一个极限值
• 这类情况在概率统计的连续型随机变量的密度函数求概率问题中经常遇到

例

• ,其中为常数,

• =

• =
• =
• =
• =-==0

• 其中是型未定式===0

• 证明,当时收敛,当时发散

• 当时,====,发散
• 当

• =

• =,,发散
• ==,,收敛

• 综上,欲证命题成立

无界函数的反常积分

• 若函数在点的任意一邻域内都无界,则点称为的瑕点(无界间断点)
• 无界函数的反常积分又称为瑕积分
• 设函数在区间上连续,点为的瑕点,

• 任取,作定积分(0),求其极限(1)
• 这个对变下限的定积分求极限的算式(1)称为函数在区间上的反常积分,仍然记为(3),即=(3-1)

• 类似地,在上连续,点为的瑕点,任取,可以定义:为函数在上的反常积分,仍然记为:,即=(3-2)
• 综合上述两种情形,在上的反常积分为和上的反常积分之和

• =+

敛散性

• 对于情形若极限(1)存在,则(3)收敛,并称该极限为(3)的反常积分值

• 否则(3)发散

• 情形类似
• 情形要求两端反常积分都收敛,才收敛,否则发散

瑕积分应用微积分基本公式

• 设为的瑕点,上,若极限存在,则==(4)
• 仍然用记号来表示,从而形式上仍然有=(4-1)
• 其余情形有类似的公式:

• =;(4-2)
• =(4-3)

例

• ,

• 判断瑕点(根据积分限或定义域,试探()即可):由于,;所以是瑕点
• ====
• 该积分的几何意义是,位于曲线下,以及直线与之间的图形区域的面积虽然不封闭,但是面积不会无限增大,而有极限值(面积无限接近但不超过也不等于)

• ==
• 利用,即来消去根号,令,

• =;
• 当时,;当,,则

• =
• ==
• =
• ==

隐含瑕积分

• 瑕积分问题不总是直接体现在积分区间的端点上,还可能在积分区间内部出现瑕点
• 即:某些积分看似和定积分形式相当,但是由于积分区间内函数不连续,特别是出现了瑕点(无界间断点),需要分段积分,例如在内的积分,需要分成两个瑕积分分别计算
• 若某个区间上的积分每拆成多段积分,并且已经算得其中任何一个区间上的积分是发散的,则原来的整个积分区间内的积分是发散的
• 

• 分析的定义域可知,在处点处以外连续,结合积分区间,可以将实际积分区间分为两部分:,
• ,因此该积分为瑕积分:

• 是的一个原函数

• 在区间上,===,该积分发散,

• 因此发散