abstract
- 利用第一换元法和三角恒等变换变形,对三角函数幂之积函数进行积分
简单三角@倒数三角函数积分
=
=
=
=
=
- =
- =
1
- =
2
- =
=
- =
3单倍角表示法
=
4
- =
- =
5
n次幂型的积分
- 三角函数n次幂的积分类型函数,形如
或
(0)
- 不同于
,这类积分本质是
,即
=
- 当
不是常数时,情况比较复杂,需要通过变形等手段化为上一种换元幂函数积分简单情形
三角函数幂之积的积分
- 这里主要指
型,
的部分类型(
为偶数且n为奇数以外的情况)
- 总体思路是将高次三角函数幂转换为低次
倍角的幂之和,最终用逐项积分的方式求积分
- 基本分类:
中至少有一个奇数
三角
次幂型积分
- 对于
是三角函数时,例如
或
,相当于上述幂之积型函数的
中的一个取0
- 即,此类问题是幂之积类型的一个特例,方法和幂之积型是一样的
类型1
- 一般地,对于
或
,
型函数的积分,可分别用变换:
或
- 这种类型相对简单,因为总能够通过
,将函数名统一,去括号,并转化为若干
的积分问题解决
例
=
=
=
=
=
=
=
=
=
凑三角微分6
- =
- =
- =
类型2
- 一般地,对于
,
型函数,总是可以利用三角恒等式:
- 将
化为
的多项式,然后展开(去括号),得到关于
的幂之和.
- 合理组合各项,将问题转换为类型一,逐项积分
例
=
=
=
=
=
=
- =
- =
+
分组积分(2部分)7
- =
+
- =
+
- =
+
- =
+
- =
类型3
- 一般地,对于
或
,
型函数的积分,依次作变换
或
- 即,奇次正切,偶次正割
=
=
=
=
=
=
- =
- =
- =
积化和差型
- 能够使用积化和差公式的三角函数构成的表达式,通过积化和差,将问题转化为倍角三角函数,逐项积分即可
- 例如
=
=
=
=
=
=
本文注脚
,所以
=
,从而
=
↩︎
↩︎
=
=
=
=
↩︎
=
=
↩︎
=
=
=
;
=
=
=
↩︎
- 使得被积函数变为双偶型,且积分变量变为
以便使用第一换元法
进行积分(
是关于
的带系数幂
,
); ↩︎
- 如果直接逐项展开,则因为被积式中包含
型函数,
不容易积分,此处将其组合,并利用三角恒等式将问题转化为类型1,比较容易积分 ↩︎