文章目录
- abstract
- 三角恒等式
- 毕达哥拉斯恒等式
- 衍生恒等式
- 和差公式
- 推导
- 和角余弦
- 差角余弦
- 和角正弦
- 差角正弦
- 和角正切
- 差角正切
- 倍角公式
- 半角公式
- 推导
- 降幂公式🎈
- 和差化积@积化和差
- 三角恒等公式推导流程
abstract
- 常用的三角恒等变换
三角恒等式
- 不同的三角函数之间存在很多对任意的角度取值都成立的等式，被称为三角恒等式。
- 其中最著名的是毕达哥拉斯恒等式，它说明对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方总是1;这可从斜边为1的直角三角形应用勾股定理得出。
毕达哥拉斯恒等式
衍生恒等式
- 两边同除以
:
- 两边同除以
,
和差公式
,记为
,记为
=
,记为
推导
和角余弦
- 以和角余弦展开公式为例,用平面向量和单位圆为工具推导
- 以直角坐标系
的坐标原点为中心作单位圆;并以
为始边作两个角
;它们的终边分别于单位圆交于
两点
- 显然
,
;
=
=
- 令向量夹角
,
- 角
=
,
- 若
,则
- 若
,则
=
=
=
- 因为
=
=
- 另一方面
=
- 从而
=
差角余弦
- 差角余弦:差角余弦可以转换为和角余弦:
=
=
和角正弦
- 由于正弦函数和余弦函数具有高度联系,这体现在由诱导公式
,
- 从而可以将正弦问题转化为余弦问题
=
=
=
=
差角正弦
=
=
=
和角正切
=
=
- 分子分母同时除以
,得
差角正切
=
=
=
倍角公式
,记为
=
=
=
=
,记为
- 比较常用的是:
=
- 比较少用的是:
=
,记为
- 令
半角公式
半角公式结果是唯一的,由所在象限决定正负候选值中的一个
=
=
推导
=
=
- 所以
- 上述方程移项开方得到
,
;且
降幂公式🎈
和差化积@积化和差
三角恒等公式推导流程
- 向量的数量积
,
,
,
- 积化和差
和差化积