文章目录

• abstract
• 有理函数

• 真分式化
• 真分式因式分解

• 真分式分解定理

• 相关理论参考

• 例
• 可化为有理函数的积分

• 简单根式积分
• 三角函数有理式
• 例

abstract

• 有理函数的积分
• 可化为有理函数的积分

有理函数

• 两个多项式的商称为有理函数,又称为有理分式

• 并且,我们总是假设之间没有公因式(不可约分化简,否则约分到不可约(满足条件))

• 当分子多项式比分母多项式的次数小时,称此有理函数为真分式(否则为假分式)

真分式化

• 利用多项式除法,总可以将一个假分式化为一个多项式和一个真分式之和的形式(初步化简)
• 例如=

真分式因式分解

• 设是真分式,若可以分解为,且之间没有公因式,则=+(1)

• 其中=;为简单起见,可以简写为(2)
• 并且,称为部分分式,式(1)称为真分式的部分分式之和化操作

• 若能够进一步分解成两个没有公因式的多项式的乘积,则可以再拆分成更简单的部分分式

真分式分解定理

• 最后,有理函数的分解式中仅出现三类函数:

1. ,即多项式
2. 
3. ;其中,

• 该判别式就是判断(3)是否有实根(如果没有实根,意味这个该二次多项式不可被分解,否则转换为类型2)
• 对于一般得一元二次多项式的判别式为,当时,,对应于式(3),是

• 为次数小于的多项式;为次数小于的多项式

相关理论参考

• 实系数多项式因式分解定理,即

• 每个次数大等于1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解为:一次因式和二次不可约因式的乘积

例

• ===

• 由真分式分解定理,=
• =,即
• 比较系数可知,,
• 可以解得,从而=

• ==

• =-+
• 部分分式和:=

• =;整理得
• 即;,解得;;
• ====$$

• 考虑凑微分=
• ===

• =

• ==-
• =--
• =

可化为有理函数的积分

简单根式积分

• 一般地,若被积函数中含有简单根式或,可以根式为

• 这样的便函具有反函数,且反函数是的有理函数,因此原积分可以化为有理函数的积分

三角函数有理式

• ,都可以用(1),的有理式表示(半角/倍角公式推导),即(2-1);(2-2)
• 由(1),得;=(3)

例

• ====
• ,用去根号
• ,用同时消去的根号