文章目录
- abstract
- 一元泰勒公式
- 多元函数的近似和误差计算
- 二元函数泰勒公式
- 二元泰勒定理
- 记号
- 证明
- 二元泰勒公式
- 公式的应用
- 二元二阶情形
- Peano型余项(TODO)
- 近似误差
- 二元Lagrange中值公式
- 推论
- 例
abstract
- AM@多元函数的近似和误差计算@二元函数泰勒公式
一元泰勒公式
=
+
- =
+
=
,
- 利用一元函数的泰勒公式,我们可以用
次多项式来逼近函数
时比
高阶的无穷小
多元函数的近似和误差计算
- 对于多元函数来说,也有必要考虑多个变量的多项式(多元多项式)来近似表达一个给定的多元函数,必能具体地估算出误差
二元函数泰勒公式
- 设
在点
的某一个邻域内连续且
阶连续偏导数,
为此邻域内任意一点
- 二元函数泰勒公式解决的问题是:
- 把函数
近似地表达为
,
的
此多项式
- 由此产生的误差是当
时比
高阶的无穷小
- 二元函数泰勒公式是一元函数泰勒公式的推广,其形式主要是将
阶导数替换为多元
二元泰勒定理
- 设
阶来连续偏导数
为此邻域内任意一点
- 则
=
+
+
+
+
+
,
(0)
- 其中余项
=
(0-1)
记号
表示
,例如
=
=
+
+
- 总之,该记号展开后形如二项式定理展开:
=
- 此处规定偏导数运算符满足乘法对加法的分配律,偏导符号之间的乘积视为偏导重数(阶数)叠加或混合偏导数的阶数叠加
证明
- 引入关于增量
的函数
=
,
,
(1)函数是二元函数,但
(2-1),(2-2),则(3),记为
点坐标
(4-1),(4-2)- 应用一元函数的泰勒公式证明
=
(4-3)=
(4-4)
- 由多元复合函数求导法则(全导数公式):
f
x
y
t=
+
=
(5-1)+
=
=
(5-2)- 上述写法很重,借助式(3),(4-1,4-2);并引入偏导数算子
可以简写为
=
=
+
=
=
=
=
(5-n)=
(5-(n+1))
- 利用一元函数的Maclaurin公式:
=
+
=
+
+
+
- 得
=
+
+
+
(6) - 将(4-3),(4-4),以及(5-1)直到(5-n)在
处的取值
的值代入(6),得
- =
+
+
+
+
+
- =
+
+
+
(8),这就是公式(0)
- 其中
=
=
(9), - 还可以进一步简写方程(8),令
(9-1),则=
=
,
二元泰勒公式
- 上述公式(0)称为**
在点
- 而
公式的应用
- 公式(0)的左端是
- 如果我们要近似某个二元函数
,要怎么用公式(0)解决?
- 首先选择一个点
,例如常见的简单取值为
;此时
,这个函数和
,求得
分别替换为
即可
- 分析公式(0)可知,二元函数的泰勒展开就是求各阶偏导数的过程,容易法线,二元泰勒公式需要计算的偏导数比一元泰勒公式在同阶展开的情况下求导次数要多得多,例如,不计算余项的情况下,展开到3阶时,二元泰勒公式就要计算4个不同的3阶偏导数,而一元情形只需要计算一个3阶导数即可
二元二阶情形
Peano型余项(TODO)
=
+
+
- 其中
,上述公式称为
处带有Peano型余项的二元二阶泰勒公式
- 此外还有Lagrange型余项
近似误差
- 由二元函数的泰勒公式(0)可知,式(0)右端的
的
- 由假设,函数的各
- 对于
=
(10) (11)在,从
而放大为
=
(12),由,
- Note:逆用二项式定理:
=
- 于是有如下误差估计式:
=
(13),
- 其中
- Note:令
;
,则
=
- 由
=
- 即
=
,两边同时乘以
,得
=
- 或者由辅助角公式,直接得到
=
,
,即
- 由式(13)可知,误差
是当
时比
二元Lagrange中值公式
- 当
时,公式(0)改写为
=
+
(14),
推论
- 若函数
,
在某一区域内都恒等于0,则函数
- Note:用处处相等的方式证明
例
- 求函数
在点
的3阶泰勒公式
- 根据公式(0),
,需要分别计算:方程组
(15)
;则
=
=
(15-1)=
,则
=
(15-2)=
,
;则
=
=
=
=2
(15-3)=
,
;
(15-4)=
=
=
=
=
=
=
=
=
- Note:
=
=
- 又
,将
代入,3阶泰勒公式得
=
- 其中
=
,
,
,
- 为例简化书写,令
;
=
=
+
+
+
(16)- 由(15-4),
=
=
=