文章目录

• abstract
• 方向导数

• 二元函数方向导数
• 偏导数是方向导数的特例

• 偏导数存在一定有对应的方向导数存在
• 方向导数存在不一定有偏导数存在
• 例

• 三元函数方向导数

• 例

• 方向导数存在定理和计算公式

• 证明

• 二元函数
• 三元函数

abstract

• 方向导数的概念,定理和计算公式
• 方向导数是对偏导的补充,其本质上是一个极限问题,而其计算可以转化为偏导的计算和方向余弦的计算,表现为偏导数构成的向量和方向余弦构成的向量作数量积

方向导数

• 偏导数反映的是函数(自变量)沿着坐标轴方向的变换率
• 为研究多元函数在某一点P沿任意方向(某个方向)的变化率,偏导数无法满足要求,因此引入多元函数的方向导数的概念

• 例如,设表示某物体内点P的温度,那么这个物体的热传导就依赖于温度沿某些方向的变化率
• 预测某地的风向和风力,就需要知道气压在该处沿某些方向的变化率

二元函数方向导数

• 设为平面上以为始点的一条射线,设其倾斜角为,则=是与同方向的单位向量

• ,,=

• 由直线的参数方程公式,射线所在直线的参数方程为;,其中为任意常数;而此处要求射线的方程,需要限制
• 设函数在点的某个邻域内有定义,为上的另一点,切

• 若记函数增量=;的距离
• 极限存在,则称该极限为在点沿方向的方向导数,记为
• 即=(1)

• 由方向导数的定义可知,式(1)就是在点处沿着方向的变化率(射线方向的变化率)
• 方向导数本质是求极限

偏导数是方向导数的特例

偏导数存在一定有对应的方向导数存在

• 若函数在点的偏导数存在,沿轴正方向同向的一个单位向量为==,则=

• 此时==

• 同理,若=,则=

• 此时==

方向导数存在不一定有偏导数存在

• 若,存在,未必有=存在

• 例如:在点处沿的方向的方向导数=1

• 由方向导数的定义可以计算方向导数,但是这很不方便,后面介绍使用方向导数存在定理和计算公式
• 这里先用定义计算:===,
• 从而=1,即=1

• 而不存在(因为=,在处没有定义)

例

• 求函数在点处,沿从点P到Q(2,-1)的方向的方向导数值

• 方向,即的方向
• 单位向量

• 
• 

• ;
• ==

三元函数方向导数

• 对于三元函数来说,它在空间一点沿某为始点的射线的方向=的方向导数为=(1)

• 其中=

• 若式(1)极限存在,则称该极限为在点沿方向的方向导数,记为

例

• 设多元一次函数,向量的方向余弦为
• 设点,都是上的点

• =-=-=
• 沿方向的平均变化率为=

• =
• =
• =;
• 令,=,所以=(1)

• 这表明,一次函数沿方向的方向导数不随点的位置而改变
• 但是沿不同方向的方向导数一般不同(方向余弦发生改变)

方向导数存在定理和计算公式

• 若函数在点可微分,那么函数在该点沿任意方向的方向导数存在,且=(0)

• 其中是方向方向余弦;直线在坐标面内,所以若要按空间直线处理,=0

• 类似的,若函数在点为微分,则函数在该点验证方向=的方向导数为=

证明

二元函数

• 由假设,在点可微分,所以=-=++(1);其中,但点在以为始点的射线上时,自变量的增量之间存在确定关系,应有,,

• 式(1)改写为=

• 所以==(2)’
• 定理和计算公式(0)得证

三元函数

• 设是上的点,则的方向余弦可以表示为:

• 
• 
• 
• 

• 由假设的可微,由可微的定义:

• 
• 对两边同时除以

• 

• 对两边取极限:

•