文章目录
abstract
- 坐标平面和平面点集,
维空间点集
- 点与点集的关系
- n维空间及其邻域
坐标平面
- 建立了坐标系的平面称为坐标平面
- 二元有序实数组
%20)
的全体(点坐标集合),即
=%7Cx%2Cy%5Cin%7B%5Cbold%7BR%7D%7D%7D%20)
表示的就是坐标平面
平面点集
- 坐标平面上具有某种性质的点集合称为平面点集,记为
%7C(x%2Cy)%E5%85%B7%E6%9C%89%E6%80%A7%E8%B4%A8P%7D%20)
- 例如平面上以原点为中心,
为半径的圆内所有点的集合为%7Cx%5E2%2By%5E2%3Cr%5E2%7D%20)
平面邻域
- 平面邻域,即
中的邻域
- 设
%20)
是平面上的一点,
是某个正数,与
的距离小于的所有点的全体构成的集合,称为的邻域,记为%20)
,即=%7C%5Csqrt%7B(x-x_0)%5E2%2B(y-y_0)%5E2%7D%3C%5Cdelta%7D%20)
;
- 在不强调
时,点
的邻域简记为%20)
- 去心邻域:
%20)
=%7C0%3C%5Csqrt%7B(x-x_0)%5E2%2B(y-y_0)%5E2%7D%3C%5Cdelta%7D%20)
;或简记为%20)
- 在几何上,表示的是以为圆心,以为半径的圆内部的所有点的集合
利用邻域描述点与点集的关系
- 记
为平面上的一个点集,
是平面上的一点,则和之间,(即
和
,
的关系)必然存在3种关系:内点,外点,边界点
- 内点:若
%7D%5Csub%7BE%7D%20)
,则
是
的内点,(
)
- 外点:若
%7D%5Ccap%7BE%7D%20)
=
,则为的外点,%20)
- 边界点:若
%7D%5Ccap%7BE%7D%5Cneq%7B0%7D%20)
,且%7D%5Ccap%7B%5Coverline%7BE%7D%7D%5Cneq%7B0%7D%20)
,则称为的边界点,(或
都有可能)
- 其中
表示
以外的点的集合
聚点
- 点与点集的另一种关系:聚点,其同时也是上述三种基本关系的一种
- 聚点:
,%20)
且
,则称
为
的聚点
- 由定义可知,的聚点可能属于,也可能不属于
- 例如,设平面点集
%7C1%3Cx%5E2%2By%5E2%5Cleqslant%7B2%7D%7D%20)
- 满足
的一切点%20)
都是的内点,
- 满足
的一切点都是的边界点,它们都不属于;
- 满足
的一切点也是的边界点,它们都属于;
- 点以及它的边界
上的一切点都是的聚点
点集分类
以下点集的分类都是基于边界与点集的关系作分类,作点集分类首先是找到边界
- 若的所有点都是它的内点,则为开集
- 例如
%7C1%3Cx%5E2%2By%5E2%3C2%7D%20)
- 例如
%7C1%5Cleqslant%20x%5E2%2By%5E2%5Cleqslant%202%7D%20)
- 例如:
%7C1%3Cx%5E2%2By%5E2%5Cleqslant%202%7D%20)
,此点集属于半开半闭点集
- 连通集:若
,总可以用折线
连结起来,且折线上的点都属于即(
),则称点集是连通的
- 区域:连通的开集称为开区域,简称区域
- 例如:
%7Cx%2By%5Cin(-1%2C1)%7D%20)
;%7Cx%2By%3E0%7D%20)
- 例如:
%7Cx%2By%5Cin%5B-1%2C1%5D%7D%20)
- 有界集:对于平面点集,若存在一个正数
,使得%7D)%20)
,则称是有界的;否则称为无界的(其中
为坐标原点)
- 例如:
%7C1%5Cleqslant%7Bx%5E2%2By%5E2%5Cleqslant%7B2%7D%7D%7D%20)
是有界闭区域
- 而
%7Cx%2By%5Cgeqslant%200%7D%20)
是无界闭区域(该点集只有一条边界,即直线
;另一侧则是无限衍生没有边界;而只要边界位于点集内,那么就是闭区域,而不要求闭区域是有界的)
维空间
基础概念
- 设为取定的一个正整数,我们用
表示元有序实数组%20)
的全体所构成的集合,即=
=%7Cx_%7Bi%7D%5Cin%7B%5Cbold%7BR%7D%7D%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2Cn%7D%20)
- 中的元素有时也用单个粗体字母表示,例如
%20)
,
- 零元:当
,
时,称该元素为中的零元,记为
或
- 在解析几何中,通过直角坐标系,
(或
)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量一一对应,所以中的元素也称为的一个点或一个维向量
称为点
的第
个坐标或向量的第个分量- 中的零元称为中的坐标原点或**维零向量**
线性运算和空间概念
- 定义了线性运算的集合称为**维空间**
空间中的两点距离
维空间中的变元极限
- 在维空间中定义了距离后,就可以定义中的变元极限
- 设,
=%20)
,
,若
,则称变元在中趋于固定元,记为
维空间内的邻域
- 设=
%5Cin%7B%5Cbold%7BR%7D%5E%7Bn%7D%7D%20)
,
是某个正数,则维空间内的点集%20)
=%7D%20)
就定义为中的邻域
- 类似的可以定义为空间内的点集的内点,外点,边界点,聚点;以及点集的分类:开集,闭集,区域等概念
表示
的距离,则
,则
为
规定
=
=
记为
时,
简记为
=
=
,那么有
=
=
,