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abstract

• 邻域的概念
• 极限的定义中的符号说明

邻域👺

• 设,开区间称为**的 邻域**,记作或

• 区间也可以表示为绝对值不等式:的解集:
• 因为
• 如果不需要说明,可简记为

邻域中心和半径

• 为邻域的中心,称为邻域中心,称为邻域半径

去心邻域

• 点的去心邻域,=记作,或

• 区间也可以表示为:
• 如不需要说明,可简记为

的意义

• 是用来刻画与的接近程度(刻画函数值)
• 是用来刻画这个极限过程(刻画自变量)

• 但
• 极限是否存在,若存在极限,极限值等于多少

• 和"处有没有定义,若有定义函数值等于多少"无关
• 和的去心邻域函数值有关

• 要使存在,必须在的某去心领域处处有定义

各种极限定义的共同点

• 无论是数列极限还是函数极限,都用了正数来刻画极限存在的形式
• 当可以任意取(足够小)的时候,才能够体现极限的意义(它刻画了数列在靠近极限的过程的与极限的接近程度),因此定义中总是强调任意的正数()

几何意义

• 对任意给定的,总存在,当时,曲线夹在两直线,和之间

极限定义中的极限过程临界值

• 根据上述极限的定义,数列极限中的,函数极限中的或,都是给定后,构造极限过程的区间(例如)的参数,不妨称之为极限过程临界值
• (或)和预先给定的有关,但是并不是的函数

• 因为同一个可以对应多个(甚至无穷多个)符合条件的
• 若满足时,则也满足

的选取👺

• 若,则,,当时,
• 在实际应用极限定义作推理的时候,经常时以如下形式出现:

• ,,当时,

• 其中是一个大于0的常数表达式,例如取为某个常数或
• 有时也把隐去不写,而直接以给定的值来应用极限的条件
• 因为,所以可以取任何正数

• 通常,取值在能够说明问题的前提下,取值越简单,越具体越好(不一定越小越好),可能是

• 极限值相关的表达式(通常是,这种手法可以推导出许多重要结论);
• 具体常数,比如
• 的表达式(例如,而不一定是本身,因为也是一个正的常数)

• 例如

• 无穷小之和仍为无穷小的证明中,就是以上述方式运用极限的条件
• 证明函数极限的有界性时,取
• 证明函数极限的局部保号性时,可以取

概念辨析👺

• 这里要辨析的概念(假设的极限过程中)

• 可无限接近(要多接近有多接近)的值是极限
• 越来越接近的值不一定是极限
• 无限接近不同于越来越接近

• 无限接近得不出越来越接近
• 越来越接近也得不出无限接近

无限接近不同于越来越接近

• 无限接近(任意接近)于极限(趋近于极限)越来越接近极限

• 极限强调的时无限接近,但不要求严格的越来越接近,只要总体上是越来越接近即可
• ,我们不能够说,随着 越来越接近

例

• 不单调也可以无限接近(有极限)
• ;极限单调而且有极限0
• =;极限不单调但是也有极限0

例

• 令=;=;
• ,都满足;而是振荡地趋近于0
• 分别等于

越来越接近推不出无限接近

• , 的过程越来越接近于,同时还越来越接近与,
• 尽管可以无限接近于1,但是无法无限接近于,因为我们可以肯定:;