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• 数列极限

极限👺

• 极限分为数列的极限和函数的极限
• 函数的极限又有6种极限过程:形式地记为,其中可能是:

极限的主要问题

• 求给定数列或函数的极限值
• 证明给定数列或函数的极限是某个值(通常用极限的定义法作证明)

数列极限

数列极限的定义@语言描述

• 若对任何的,若存在,当时,有,称为数列的极限,记为或记为,不引起混淆的情况下,还可以简写为
• 半形式化语言描述: when:,then:,记为

极限表达式成立的证明

• 证明数列极限的常用方法是用数列极限的定义证明
• 若,则

• 由条件,,,当时有(1)
• 构造,只要说明,,当时有,即可证明结论成立
• 由绝对值不等式,(2),(2)代入(1),得,所以
• Note:该命题的逆命题不成立,因为 ;例如:,则;而不存在

• 推论:

• 若,的充要条件是:

• 有上结论可知必要性成立
• 充分性:若,,,当时有成立,即,从而

极限发散证明

• 证明极限发散,即证明数列极限不存在,仍然可以通过极限的定义入手证明
• 通常是通过取一个正数说明的取值下,“,能使得当,恒成立”
• 例:

• 证明数列,是发散的
• 若数列收敛,则其有唯一极限,不妨设极限存在且等于,
• 按极限定义,对于,,当时有
• 对于本例,不妨取,则,而根据的同向公式可知,重复取,当时,,与矛盾,从而不存在极限
• 所以发散

常用数列极限

• =,;
• ,

数列极限的几何意义

• 的几何意义是:以数轴为背景,对于点的任意邻域,即开区间,一定存在,使得当,即第项后的点都落在开区间内,而只有有限个点落在该区间以外

例

• =
• 分析:=1;=1

函数的极限

• 另见: 函数极限