文章目录

• abstract
• 等比数列🎈

• 递推公式
• 通项公式
• 等比数列和指数函数
• 等比中项
• 下标和相等的两组子数列
• 等比数列求和公式👺

• 推导

• 递推公式法
• 错位相减法

• 公比为1的等比数列
• 首项为1的等比数列
• 应用:等比数列经典问题

• 等差乘以等比数列求和问题

• 求导@极限法
• 例

abstract

• 等比数列概念和性质
• 等比数列求和公式

• 递推公式法
• 错位相减法

等比数列🎈

• 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数(公比),那么则个数列就叫做等比数列
• 公比通常用字母表示

递推公式

• ,

通项公式

• ,

• 由递推公式,;;;;
• 将这个式子两边分别相乘:=,两边同乘,=,从而

• 若令,,则

等比数列和指数函数

• 当时,是一个指数函数
• 而是一个非零常数和指数函数的乘积
• 从图像上看,的点都在函数上
• 如果给定一个数列的通项公式为,显然是首项公比为的等比数列;若,则是首项为,公比为的等比数列;若,则是首项为,公比也为的等比数列

等比中项

• 若构成等差数列,则,称为得等比中项
• ,即,利用这个方程可以求出
• 显然

• 两个同号的数的等比中项有2个,它们互为相反数
• 异号没有等比中项

• 由等比中项判定一个数列是否式等比数列:若一个数列从第2项起,每一项都是它的前一项和后一项(如果有的话)的等比中项,则这个数列是等比数列

下标和相等的两组子数列

• 一般地,若==,则==
• 特别的,=

等比数列求和公式👺

• 和等差数列的前项和公式不同,等比数列前项和需要根据公比分类讨论
• 前n项和:

推导

• =
  
  ==

递推公式法

• 由等比数列递推公式,:

• 
• 
• 
• 
• 
• 将上述个等式两边分别相加,得=
• 即,从而=

错位相减法

• =

• 或者由==算得

• =-

• =
• =

• ==

公比为1的等比数列

• 由通项公式,公比为1的数列就是常数列(每项都相等),且同时是共差为0的等差数列

首项为1的等比数列

• 特别的,当时,===
• 可以用于推导等幂和差公式

应用:等比数列经典问题

• 一尺长的木棒,每天截取它的一半,则永远也取不完
• 用数列描述到第天取走的木棒长度为,数列是一个首项,公比为的等比数列
• 则第天为止共取走=,显然无论多么大,总有,所以木棒永远也取不完

等差乘以等比数列求和问题

• 这是一类经典的问题,解法有多种

求导@极限法

• 极限法也可以用简单无穷级数(等比级数)公式直接计算
• 利用求导公式和法则:

• 
• 
• =

• 例如:等差乘以等比最简单无穷级数

• 
• 将换成n,也可以方便的推导有限项(前n项和)

例

• 公差为2
•