AM@等价无穷小概念@原理@应用
  YKlbyZv8AQAt 2023年11月02日 20 0



文章目录

  • abstract
  • 无穷小
  • 无穷小量的比较
  • 高阶
  • 低阶
  • 同阶
  • 等价
  • 无穷小的阶
  • 记号👺
  • 高阶无穷小的命题👺
  • 0和无穷小
  • 等价无穷小之间的比较
  • 等价无穷小定理
  • 定理1
  • 定理2👺
  • 定理3@组合无穷小
  • 无穷小之差
  • 无穷小之和
  • 例
  • 定理4
  • 小结
  • 常见等价无穷小


abstract

  • 等价无穷小的概念,性质和应用
  • 等价无穷小可以用来(简化)计算AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域型的极限问题

无穷小

  • 如果AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_02,则称AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_03为AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_04时的无穷小

无穷小量的比较

  • 下面用AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_05来简写AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_06
  • 两个同一自变量变化过程的无穷小AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_07比较时通常是构造AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_08,通过判断AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_09是否存在来进行的
  • 这里采用比值而不采用差值,是因为任意两个无穷小AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_07的差(和)结果都是无穷小 AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_11,所以比较不出什么
  • 设AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_12,AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_13;记AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_14=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_15

高阶

  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_16,记为:表示AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_17是比AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_18高阶的无穷小(更低阶的无穷大),记为AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_19

低阶

  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_20,表示AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_17是比AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_18低阶的无穷小

同阶

  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_23,表示AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_17与AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_18是同阶无穷小

等价

  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_26,表示AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_17与AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_18是等价无穷小,记为AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_29

无穷小的阶

  • 如果AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_30;AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_31则AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_17是AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_18的AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_14阶无穷小

记号👺

  • 设函数AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_35和AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_36在AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_37处的某个去心邻域AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_38上有定义,并设AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_38上AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_40
  • 分别用记号:“AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_41”,“AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_42”,"AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_43"表示比值AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_44在AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_45点临近的集中情况
  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_46表示AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_47是有界变量
  • 这种情况包含了AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_48,(AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_49是常数)的情况
  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_50表示AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_47是无穷小量(AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_52)
  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_53表示AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_54
  • 例如AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_55
  • 特别地,AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_56,AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_57表示函数AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_18在AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_45处地某个去心邻域上有界;AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_60,AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_57表示AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_62

高阶无穷小的命题👺

  • 许多定理涉及高阶无穷小,AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_17是AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_18的高阶无穷小AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_65记为AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_19,
  • 反之,若AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_17是AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_18的高阶无穷小AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_69,则AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_15=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_71

0和无穷小

  • 因为AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_72,AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_73,所以AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_74=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_75,即AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_75是自身以外的任意无穷小的高阶无穷小,AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_77

等价无穷小之间的比较

  • 无穷小之间不总是可以比较的(有些无穷小没有高低阶之分,也没有同阶可言)

例如:

  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_78;AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_79;
  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_80是AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_81时的有界函数乘以等价无穷小,即AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_82
  • 所以AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_83是AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_84时的等价无穷小
  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_85
  • 显然AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_86不存在,即两个等价无穷小不可比较

等价无穷小定理

定理1

  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_87的充要条件是AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_88(1)(或AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_89)
  • 证明:
  • 必要性:
  • 由AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_90,AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_91
  • 将结论(1)变形可得AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_92,即要证明AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_93是AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_94的高阶无穷小
  • 构造AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_95,则AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_96=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_97=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_98=0
  • 从而AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_93是AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_94的高阶无穷小,即AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_93=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_102,即(1)成立
  • 充分性:
  • 设(1)成立,则AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_103=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_104=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_105=1,从而AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_106
  • 这个定理表明,等价无穷小之间的相差一个高阶的无穷小

定理2👺

  • 设AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_107,AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_108,且AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_109存在,则AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_110=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_109=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_112
  • 其中AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_113和表示和AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_114成等价无穷小关系的某个无穷小,两者可能相等
  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_115和AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_116类似含义
  • 事实上,AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_117=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_118=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_119=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_120=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_121
  • 证明:AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_110=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_123=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_124 AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_125 AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_109 AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_125 AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_128=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_129=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_109
  • 定理表明,求两个无穷小之比的极限时,分子和分母都可以用等价无穷小代替
    适当的代替无穷小,可以这类极限计算问题得到简化
    但要注意,等价无穷小的应用时有严格要求的,要特别注意自变量的变化过程,而不是单看分子分母解析式
    例如:AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_131
  • 首先判断该极限是一个无穷小之比极限问题,可以考虑等价无穷小化简
  • 因为AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_132,AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_133,所以AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_134=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_135

定理3@组合无穷小

无穷小之差
  • 若AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_136,AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_137,且AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_138,则有等价无穷小关系:AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_139
  • 若令AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_140,AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_141,则AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_142
  • 证明:
  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_143,则由定理2:AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_144=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_145=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_146=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_143(0)
  • 令AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_148=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_149=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_150(1)
  • 令AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_151=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_152=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_153
  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_154=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_153
  • 当AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_156时,AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_157=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_158
  • Note:在(1)式的处理中采用分式分子母同时除以AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_159处理,如果同时除以AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_160也可以算
无穷小之和
  • 若AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_161,AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_162,且AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_163,则有等价无穷小关系:AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_164
  • 若令AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_165,AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_166,则AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_142
  • 证明:
  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_168,则由定理2:AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_169=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_170=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_171=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_168
  • 令AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_173=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_174=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_175
  • 令AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_176=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_177=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_178
  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_179=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_180+AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_181=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_178
  • 当AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_183时,AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_157=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_158
例
  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_186,则AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_187=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_188
  • 如果作这个极限问题不能够作如下等价无穷小变换AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_189,因为AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_190,所以不能交换
  • 实际上定理3判定法给出了AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_191并不和AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_192构成等价无穷小关系
  • 其中AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_193;AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_194,且AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_195,AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_196,因为AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_197=AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_198,则AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_199,即AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_200
  • 所以AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_201

定理4

  • 若AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_202,则AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_203
  • 证明:AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_204情形
  • 若AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_205;AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_206
  • 由复合函数极限运算法则,AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_207=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_205
  • AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_209情形类似
  • 例AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_210,则AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_211

小结

  • 结合定理1,2;为我们可以利用peano型余项泰勒展开来计算某些类型的极限提供依据
  • 相比定理1,定理2更加常用,定理1的作用在于指出,某些局部替换不保持等价无穷小关系:若AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_29.则AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_213,AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_214且AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_215不是AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_17的高阶无穷小,则AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_217
  • 从而AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_218=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_219 AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_220 AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_221=AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_222
  • 更具体地被总结为定理3
  • 总之,AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_223型分式AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_224求极限中能否局部替换,取决于被替换的式子AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_03替换后的式子AM@等价无穷小概念@原理@应用_邻域_226是否满足AM@等价无穷小概念@原理@应用_极限_227,若满足即可替换(分母也是相仿的)

常见等价无穷小


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最后一次编辑于 2023年11月08日 0

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