文章目录
- abstract
- 无穷小
- 无穷小量的比较
- 高阶
- 低阶
- 同阶
- 等价
- 无穷小的阶
- 记号👺
- 高阶无穷小的命题👺
- 0和无穷小
- 等价无穷小之间的比较
- 等价无穷小定理
- 定理1
- 定理2👺
- 定理3@组合无穷小
- 无穷小之差
- 无穷小之和
- 例
- 定理4
- 小结
- 常见等价无穷小
abstract
- 等价无穷小的概念,性质和应用
- 等价无穷小可以用来(简化)计算
型的极限问题
无穷小
- 如果
,则称
为
时的无穷小
无穷小量的比较
- 下面用
来简写
- 两个同一自变量变化过程的无穷小
比较时通常是构造
,通过判断
是否存在来进行的
- 这里采用比值而不采用差值,是因为任意两个无穷小
的差(和)结果都是无穷小
,所以比较不出什么
- 设
,
;记
=
高阶
,记为:表示
是比
高阶的无穷小(更低阶的无穷大),记为
低阶
,表示
是比
低阶的无穷小
同阶
,表示
与
是同阶无穷小
等价
,表示
与
是等价无穷小,记为
无穷小的阶
- 如果
;
则
是
的
阶无穷小
记号👺
- 设函数
和
在
处的某个去心邻域
上有定义,并设
上
- 分别用记号:“
”,“
”,"
"表示比值
在
点临近的集中情况
表示
是有界变量
- 这种情况包含了
,(
是常数)的情况
表示
是无穷小量(
)
表示
- 例如
- 特别地,
,
表示函数
在
处地某个去心邻域上有界;
,
表示
高阶无穷小的命题👺
- 许多定理涉及高阶无穷小,
是
的高阶无穷小
记为
,
- 反之,若
是
的高阶无穷小
,则
=
0和无穷小
- 因为
,
,所以
=
,即
是自身以外的任意无穷小的高阶无穷小,
等价无穷小之间的比较
- 无穷小之间不总是可以比较的(有些无穷小没有高低阶之分,也没有同阶可言)
例如:
;
;
是
时的有界函数乘以等价无穷小,即
- 所以
是
时的等价无穷小
- 显然
不存在,即两个等价无穷小不可比较
等价无穷小定理
定理1
的充要条件是
(1)
(或)
- 证明:
- 必要性:
- 由
,
- 将结论(1)变形可得
,即要证明
是
的高阶无穷小
- 构造
,则
=
=
=0
- 从而
是
的高阶无穷小,即
=
,即(1)成立
- 充分性:
- 设(1)成立,则
=
=
=1,从而
- 这个定理表明,等价无穷小之间的相差一个高阶的无穷小
定理2👺
- 设
,
,且
存在,则
=
=
- 其中
和表示和
成等价无穷小关系的某个无穷小,两者可能相等
和
类似含义
- 事实上,
=
=
=
=
- 证明:
=
=
=
=
- 定理表明,求两个无穷小之比的极限时,分子和分母都可以用等价无穷小代替
适当的代替无穷小,可以这类极限计算问题得到简化
但要注意,等价无穷小的应用时有严格要求的,要特别注意自变量的变化过程,而不是单看分子分母解析式
例如:
- 首先判断该极限是一个无穷小之比极限问题,可以考虑等价无穷小化简
- 因为
,
,所以
=
定理3@组合无穷小
无穷小之差
- 若
,
,且
,则有等价无穷小关系:
- 若令
,
,则
- 证明:
,则由定理2:
=
=
=
(0)
- 令
=
=
(1)
- 令
=
=
=
- 当
时,
=
- Note:在
(1)
式的处理中采用分式分子母同时除以处理,如果同时除以
也可以算
无穷小之和
- 若
,
,且
,则有等价无穷小关系:
- 若令
,
,则
- 证明:
,则由定理2:
=
=
=
- 令
=
=
- 令
=
=
=
+
=
- 当
时,
=
例
,则
=
- 如果作这个极限问题不能够作如下等价无穷小变换
,因为
,所以不能交换
- 实际上定理3判定法给出了
并不和
构成等价无穷小关系
- 其中
;
,且
,
,因为
=
,则
,即
- 所以
定理4
- 若
,则
- 证明:
情形
- 若
;
- 由复合函数极限运算法则,
=
情形类似
- 例
,则
小结
- 结合定理1,2;为我们可以利用peano型余项泰勒展开来计算某些类型的极限提供依据
- 相比定理1,定理2更加常用,定理1的作用在于指出,某些局部替换不保持等价无穷小关系:若
.则
,
且
不是
的高阶无穷小,则
- 从而
=
=
- 更具体地被总结为定理3
- 总之,
型分式
求极限中能否局部替换,取决于被替换的式子
替换后的式子
是否满足
,若满足即可替换(分母也是相仿的)
常见等价无穷小
- 另见 常用等价无穷小篇