文章目录

• abstract
• 微积分第二基本定理
• 微积分基本公式

• 公式书写
• 例

• 结合不定积分的方法求定积分

• 定积分换元法

• 证明

• 定积分换元公式逆用

• 例

• 和不定积分第二类换元法的差别
• 定积分分部积分法

• 例

abstract

• 微积分第一基本定理告诉我们,总是能够通过积分法构造(表达)一个连续函数的原函数
• 结合同一个函数的原函数之间仅差一个常数的性质,引出微积分基本定理(也称第二基本定理)和Newton-Leibniz公式

微积分第二基本定理

• 如果是连续函数在区间,上的一个原函数,则:(0)
• 证明:

• 根据原函数存在定理:,是连续函数的一个原函数
• 两个原函数之差在上必定是某个常数C

• ,即(1)
• =(1-1)

• (2);(2-1)
• 两式相减:=(2-2),等号左右代入(1-1),得=(3),即定理(公式(0))成立

• 本定理揭示了定积分与被积函数的"原函数或不定积分"之间的联系(不定积分的结果为原函数)
• 更一般的.当,定理也成立

微积分基本公式

• 公式(0)称为Newton-Leibniz公式,也叫微积分基本公式
• 利用本公式可以大大简化定积分的计算手续

公式书写

• 记:==或=;
• 第2种写法用得较少,但当遇到本身以绝对值结尾的,可以提供方便,不易混淆

例

• ==
• ===

结合不定积分的方法求定积分

定积分换元法

• 设函数在区间上连续,函数满足

• ,(0)
• 在(或)上中具有连续导函数,且其值域=

• 以.为例,时,

• 则:=(1),该公式为定积分换元公式

• 当超出了,满足其他条件时,只要在上连续,定理结论仍然成立
• 通过方程组(0)解出大小可能,也可能时,这不影响结果,只要保证对应的作为积分下限,对应的作为积分上限,就能保证结果正确

• 回顾不定积分的二类换元法积分公式:

• 通过变量代换,=,
• 通过变量代换,则=

证明

• 由假设得,,(1-1)都连续的,由**连续函数原函数存在定理,**这两个函数的定积分和原函数都存在,(1)式两边都可以用微积分基本公式

• 设是的一个原函数(即),由微分积分基本公式,=(2)
• 设是的一个原函数,则=
• 欲证明(1),即证明=
• 记复合函数:(3)即是关于的表示法,
• 由复合函数求导法:===,可见,是的一个原函数,由微积分基本公式,有= (4)

• 又由(1-1),(3),(0)

• ==(5)

• 由(2),(5):==,这就是公式(1),公式成立

定积分换元公式逆用

• =(6)

• 通过引入新变量,而,

例

• ,

• 方法1:不定积分公式法,===
• 方法2:不定积分换元法:令,则

• 积分限转化:时,;时,
• ====

• 

• 方法1:===
• 方法:使用公式6

• 令,则=,且,;当,
• ====

• 设在[0,1]上连续,则=

• 方法1:

• ==
• 令,当时,;时,
• ===,等式得证

• 方法2:

• 令,则=,且时,当时,于是===

和不定积分第二类换元法的差别

• 用把原来变量代换成新变量时,积分限也要换成新变量的积分限
• 求出的一个原函数后,不再需要像不定积分那样将变换回原来的变量的函数(不要求反函数存在),只需要将的上下限分别代入作差即可

定积分分部积分法

• ===
• 简记为=或=
• 公式表明,原函数已经积出的部分可以先用上下限代入,尽快简化算式

例

• 求证:==

• =,为偶数
• =,为大于1的正奇数

• 证明:

• ==

• 由分部积分公式:=+=

• =
• =-
• =(0)

• 移项:,从而(1)
• 式(2)称为关于的递推公式

• 将替换为,则由(1)得,

• 类似的递推下去,知道下标递减至0或1为止:

• 时,最终为,
• 时,最终为

• =;=1(3)

• 所以,由(1)

• =(4-1)
• =(4-2)
• 代入等式组(3),结合=,即欲证结论得证