文章目录

• abstract
• 分部积分

• 适用情形
• u,v的选取和口诀

• 例
• 分部积分和方程式求积分

• 综合使用换元法和分部积分法

• 定积分的分部积分公式

abstract

• 分部积分原理和应用

分部积分

• 利用函数乘积求导法则,得到的积分方法,称为分部积分法
• 正如每个导数公式都蕴含着一个积分公式,函数乘法求导公式也可以推出一个积分公式
• 设具有连续的导数,则两个函数乘积的导数公式为(1)
• 移项可得=(2)
• 两边同时求不定积分,=(3),即=(3-1)

• 可以读作int(udv)=uv-int(vdu)

• 公式(3),(3-1)称为分部积分公式;公式(3-1)等号左边是,可直接读出,而公式(3)等号左边没有直接给出而是给出了,需要自己计算,比如凑微分:=,从而转换为公式(3-1)

适用情形

• 当难以积分而容易积分,那么就可以利用分部积分公式计算
• 例:

• 取的方案有2种:

1. ,,此时,
2. ,,此时,

• 方案1:==

• 此方案合理

• 方案2:=-

• 等号右端比原积分更不容易求出,此方案是不合理的

u,v的选取和口诀

• 和(即)的选取考虑两点

• 容易求
• 比容易积出

• 的选取:以反对幂三指作为选取的顺序反>对>幂>三>指

• 反三角函数
• 对数函数
• 幂函数
• 三角函数
• 指数函数(通常不会选取指数函数作为u)

• 选取完后剩余部分为

例

• ==

• 被积函数是幂函数和指数函数的乘积,在口诀序列种"幂>指",因此令,(即)
• ==
• =

• 特别地,当时:

• ==-

• ======
• =-=

• ====
• =

• ======
• =

• =

• ===
• =

分部积分和方程式求积分

• =

• 再次使用分部积分=
• 从而=
• =

• ===-

• ====
• =
• =
• =
• 所以=

综合使用换元法和分部积分法

• 令,则
• == [^1]=

• 由分部积分法有

• =

定积分的分部积分公式