文章目录
- abstract
- 引言
- 变上限积分
- 基本性质
- 变下限积分
- 微积分第一基本定理
- 定积分与不定积分的关系
- 证明
- 原函数存在定理
- 拓展
- 例
- 例
- 例
- 例
- 微积分第二基本定理及其应用
abstract
- 使用定积分的定义计算积分通常是困难而且不方便的,为此,我们需要寻求新的方法,即微积分基本公式(定理)
- 微积分第一基本定理是关于变上限积分(积分上限函数)的结论,作为第二基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)的基础
- 通常微积分基本定理指的是第二基本定理,微积分基本公式为Newton-Leibniz公式
- 本文介绍:微积分第一基本定理@积分上限的函数及其导数@原函数存在定理
引言
- 变速直线运动中位置函数和速度函数之间的联系
- 物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表示
- 另一方面,这段路程又可以通过位置函数在区间上的增量来表达
- 可见,和之间满足=;并且=,()
- 这就是说,速度在区间上的定积分等于的原函数在区间上的增量
- 由特殊性体现一般性,可以猜测该结论在一定条件下具有普遍性,并尝试给出证明
变上限积分
- 变上限积分,即积分上限函数
- 所谓积分上限函数,就是自变量位于定积分的上限位置
- 一般地,积分上限函数可以表示为:
(1)
- 字母不是积分上限的函数的自变量,而是被积函数的自变量,
- 式(1)所示的积分上限的函数的自变量是
- 或的函数(不含)的,相对于都是常数,在计算定积分时可以提出到积分号外
- 变上限积分函数是的产生方式依赖于定积分,比一般的初等函数要抽象一些
- 初等函数在其定义域区间内是连续的,其原函数一定存在,但原函数却不一定仍然是初等函数,例如,该函数原函数存在却积不出(不是初等函数)
- 变上限积分函数可能不是初等函数
基本性质
- =
- 因为相对于被积函数是常数
- 例如,则-
变下限积分
- 由定积分的补充约定,有=
- 即可以将变下限积分转换为变上限积分进行研究
微积分第一基本定理
- 揭示不定积分和定积分的关系,讨论变上限积分函数的导数(积分上限的函数及其导数)
- 设在上连续,积分上限的函数,在上可导,且=,
(1)
定积分与不定积分的关系
- 上述定理表明,连续函数取变上限的定积分,然后求导,结果还原为本身
- 是的一个原函数
- 区间上积分上限的函数的导数为被积函数
- =,
证明
- 可以分为三个部分进行证明:
- 区间内部
- 区间左边界
- 区间右边界
- 若,且
- 记:
- =
- =
- =
- 由定积分中值定理:
- 区间上存在一点,使得:==
- ==
- 时,.又因为,则
- 由导数的定义(极限),将视为变量,===
- 由于在内是连续的,自然也是连续的
- 根据一元连续函数的性质,那么有
- =,,即结论成立
- 进一步分类讨论:
- ,取;可以得到右导数;
- ,取;左导数:,
- 从而得到
原函数存在定理
- 由微积分第一基本定理,容易引出连续函数的原函数存在定理
- 定理:
- 设在上连续,则函数就是在上的一个原函数
- 即=,;=;
- 注意积分下限为闭区间左端点,积分上限为变量
- 本定理表明
- 来连续函数的原函数一定存在,并解释了(变上限)定积分与原函数之间的关系,暗示我们可以有可能通过原函数来计算定积分
拓展
- 如果在区间上除了点外均连续,而在处有跳跃间断点(即在处的左右极限都存在但不相等:,,)
- 令,,则有结论
- 上连续
- ,即,间断点处原函数的左导数等于在的左极限,原函数右导数等于在右极限
- 例,分段函数=,;,,我们研究其在区间上的原函数性质
- 任取中的某点,不妨取,并记=
- 由分段函数的积分:
- =====,
- =+=+=+=,
- 显然在两个区间内各自连续,且在处连续,因为==,因此在上连续
例
- 设在[a,b]上连续,且,
(1)
- 求证
- 方程在内仅有一个实根
- 式(1)两边对求导
- 由于,由基本不等式得出
- 由于
- ;故由零点定理知,在内至少存在一个根
- 而,在上单调增加,所以在内仅有一个根
例
- 容易发现上述极限是型,考虑使用LHopital法则
- 由于(可以令,作复合函数求导)
- ====
- =
例
- 则=+
例
- 设在上单调减少且连续,令,求证
- =-
- =-=-
(0)
- 对应用积分中值定理:存在(设),使得=
- 即=
(1)
- 将(1)代入(0),得=
- 由的单调递减,,可知;即
- 从而,在上单调递增,从而,命题得证
微积分第二基本定理及其应用
- 微积分第二基本定理