文章目录

• abstract
• 偏导数👺

• 点处偏导数
• 可偏导
• 偏导函数
• 元函数的偏导数
• 偏导数和偏导函数的关系
• 偏导数计算技巧
• 间断点处的偏导数
• 多元函数的偏导与连续
• 偏导数的几何意义

• 小结

• 例
• 例

abstract

• 多元函数求导
• 偏导数和偏导函数及其计算

abstract

• 多元函数求导
• 偏导数和偏导函数及其计算

偏导数👺

• 以二元偏导数为例,多元偏导数类似

点处偏导数

• 设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量固定在,而自变量在点处有增量,时,函数对的偏增量为=,若极限=存在,则称此极限为函数在点处对的偏导数,记为

• 或或或

• 其中前三种又可以作或或
• 最后一种最简单,为函数式写法

• 简单地说:若

• 

• 则称此极限为函数在点的对于变量的偏导数

可偏导

• 当函数在处关于自变量的偏导数都存在时,则称在处可偏导

偏导函数

• 若在区域内每一点处对的偏导数都存在,表示为,则这个偏导数就是的二元函数,称为函数对自变量的偏导函数,在不引起混淆的情况下,偏导函数也简称为偏导数;
• 偏导函数可以记为,.,;

• 其中还可以作;还可以作;
• 即在给出脚标变量后,上表的一撇()可以省略

• 由具有一般性(任意性),所以上述形式可写作

• 

• 类似的,另一自变量的偏导函数定义相仿.

• 

元函数的偏导数

• 元函数关于第个自变量的偏导数定义为:
• ==

偏导数和偏导函数的关系

• 偏导函数的概念可知,在处的偏导数就是偏导函数在处的函数值,即==

偏导数计算技巧

• 由于多元函数的偏导数是将被求导的自变量之外的其他变量视为常数,在求某个点(其中表示的取值,为常数)处的自变量的偏导数时,可以考虑将以外的变量用具体值代入之后,再求导,即=(1)
• 或者=(2)
• 使用公式(2)有时会明显简单,特别是当函数式子复杂时
• 当时,即二元情形,公式(2)可以表示为

• 
• 

间断点处的偏导数

• 设分段函数=,;,
• 则在点处的导数?

• 由于点是函数的间断点,求偏导数应用偏导数的定义:

• ===
• 同理,=

• 容易验证在处的极限不存在,函数在处也不连续

多元函数的偏导与连续

• 上述结果表明,即使在处各个自变量的偏导都存在甚至相等,也推不出该处极限存在,也推不出函数在该处连续

• 这是因为,对各个自变量的偏导数只能说明两个趋近路径(相互垂直)上的极限存在,这推不出所有方向极限存在也就推不出连续

• 而在一元函数中,在某点处可导一定推出连续,也能推出极限存在

偏导数的几何意义

• 偏导数实质上是一元函数的导数
• 而一元函数的导数的几何意义是曲线的切线斜率

• 切线位于坐标面中(平行重合关系),导数也等于切线相对于轴的倾斜角的正切值

• 所以,偏导数的几何意义也是切线的斜率

• 对于二元函数,,其在处对于的偏导数表示曲线在点处的切线斜率
• 曲线是平面曲线,由空间的两个曲面方程相交得到,其中曲面是一个平面,因此交线一定是一条平面曲线,并且该曲线和坐标面平行
• 切线的倾斜角为相对平面上的直线的倾斜角,或者说投影到平面上的相对于轴的倾斜角

• 类似的,表示的切线的斜率

小结

• 由偏导数的定义可以知道,偏导数的本质就是一元函数的导数
• 点处的偏导数就是一元函数在处的导数,即=

• =

• 求自变量的偏导数(或偏导函数)时,只需要将以外的自变量视为常量(可以提前代入到,将多元函数点处偏导数计算化为一元函数在自变量某处的导数),再按一元函数的求导法则求导数即可

例

• 的在对偏导数
• 使用公式1计算

• ==
• ==15

• 使用公式2计算

• ====

例

• =+,求,
• 是一个复杂表达式,考虑使用点处偏导数公式2计算

• ==
• ====