文章目录

• abstract
• 多元函数极值存在定理

• 极值求解
• 求解步骤

• 驻点部分
• 偏导不存在的点

• 例
• 多元函数最值
• 例

• 条件极值

• 条件极值转为无条件极值
• 极值必要条件
• 拉格朗日乘数法
• 推广
• 例

abstract

• 多元函数极值和最值@多元函数极值存在定理@条件极值

多元函数极值存在定理

• 本定理给出极值存在充分条件
• 设函数在点的某个邻域内来连续,且有一阶和二阶连续偏导数,又,(驻点存在),令

• 
• 
• 
• =

• 则在点处是否取得极值的条件和结论为:

• 时具有极值,

• 时有极大值,
• 时有极小值

• 时没有极值
• 时需要另外讨论才能确定

极值求解

• 这里指无条件极值
• 分为两部分:所有驻点和不可导点处都有可能是极值

求解步骤

驻点部分

• 建立并解方程组;;得到一切实数解,得一切驻点

• 两个方程都是一元方程,可能有多个解,方程1解设为;方程2的解设为
• 构造驻点坐标:,,共有个驻点

• 对每个驻点,求处二阶偏导数
• 确定得符号,由定理2的结论判定是否为极值(若为极值,进一步根据得符号判断该极值是极大值还是极小值)

偏导不存在的点

• 如果函数存在某些偏导数不存在的点,那么这些点也可能是极值点,需要逐个判断
• 如果函数处处可偏导,则不需要处理这部分

例

• 求函数=的极值

• 构造并解方程组:;=
• 分别解得;;;
• 构造驻点,;;
• 计算函数的:;,;
• 分别判断驻点的判别式

• 在处,,且,所以函数在处有极小值
• 处,,所以不是极值
• 处,,不是极值
• 处,,,所以函数在处有极大值

多元函数最值

• 与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.
• 如果在有界闭区域D上连续,那么在D上必定能取得最大值和最小值.
• 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上.
• 我们假定,函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点,

• 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值),那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).

• 因此,在上述假定下,求函数的最大值和最小值的一般方法是:

• 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.
• 但这种做法,由于要求出在D的边界上的最大值和最小值,所以往往相当复杂.
• 在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在D上的最大值(最小值).

例

• 制作体积为的封闭长方体水箱,设长,宽分别为,则高为,问分别取多少时用料最省?
• 水箱的表面积为=;

• =;=0
• ;
• 函数有唯一驻点,并且在函数开区域内部取得,则该点一定是极值点
• 又由题意可知,函数在区域内一定由最小值,所以当;时,函数取得最小值,此时高度为=

条件极值

• 上面所讨论的极值问题,对于函数的自变量,除了限制在函数的定义域内以外,并无其他条件,所以有时候称为无条件极值.
• 但在实际问题中,有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题.

• 例如,求表面积为a而体积为最大的长方体的体积问题.设长方体的三棱的长为则体积又因假定表面积为,所以自变量还必须满足附加条件.
• 像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值.

条件极值转为无条件极值

• 对于有些实际问题,可以把条件极值化为无条件极值,然后利用第一目中的方法加以解决.例如上述问题,可由条件,将表示成(展开合并同类项移项可得)

• ,将其代入,得的无条件极值

极值必要条件

• 很多情形下,条件极值化为无条件极值不容易,需要寻找新的途径求解条件极值
• 这种方法称为Lagrange乘数法
• (1)在条件(2)下取得极值的必要条件是什么?

• 设函数(1)在处取得所求的极值,则(3)
• 假定在的某一邻域内与均有连续的一阶偏导数,而
• 由隐函数存在定理,方程(2)确定一个来纳许且具有连续导数的函数(3-1)
• 将式(3-1)代入(1),得到一个一元函数(4)
• 于是二元函数(1)在取得所求的极值相当于一元函数(4)在处取得极值
• 由一元可导函数取得极值的必要条件,(5),即(5-1)
• 而由方程(2),用隐函数求导公式,=(5-2)把上式代入(5-1),得

• (6)

• 式(3),(6)就是函数(1)在条件(2)下在取得极值得必要条件

• 变形条件(6)

• 设=(6-1),变形即有(6-2)
• 且式(6)改写为(6-3)

• 将上述必要条件整理,得方程组(7)

1. 
2. 
3. 

• 引进辅助函数(8),则(7-1,7-2)分别为(9-1);(9-2)
• 辅助函数也称为Lagrange函数,参数称为Lagrange乘子

拉格朗日乘数法

• 要找到函数(1)在附加条件(2)下的可能极值点,可以线作Lagrange函数:==,其中为参数
• 求其对的一阶偏导数,并令它们为0,在和条件方程联立:

• 
• 
• 

• 有此方程组解出,得到的就是函数在附加条件(2)下的可能极值点

推广

• Lagrange乘数法可以推广到自变量多于2个,附加条件多于1个的情形
• 例如求在附加条件,下的极值

• 此时构造的Lagrange函数为=
• 参数也可以用记号表示
• 求Lagrange函数的各个一阶偏导并令它们为0,再来联立两个条件方程,求出,就是可能是所求的极值点

例

• 求表面积为而体积为最大的长方体的体积

• 设长方体的三棱分别为,体积函数为,,(1)
• 定义域之外的附加条件为(2),用方程一般形式表示:令==0
• 这是一个含3个自变量和一个附加条件的极值问题
• 构造Lagrange函数为==
• 分别求偏导并令他们为0:得方程组(3)

1. ==0
2. ==0
3. ==0

• 再与条件(2)联立(可以表示为=0

• 对方程组(3)移项:

• ;(4-1)
• ;(4-2)
• (4-3)

• 作式(4-1)比去(4-2),以及(4-1)比去(4-3)分别得:

• ;,分别令这两个比值为
• 由比例性质,,可得,
• 即得,代入(2),得