文章目录

• abstract
• 隐函数存在定理1

• 部分推导
• Note

• 例
• 推广

• 隐函数存在定理2

• 部分推导

• 隐函数存在定理3

• 公式的应用
• 部分推导

abstract

• 隐函数存在定理
• 多元隐函数求导@偏导

隐函数存在定理1

• 设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数(P0),且

• =,
• ,

• 为对的偏导数,
• 类似的,表示的是对的偏导数

• 则方程(0)在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(1),它满足,且=(2)
• 公式(2)就是隐函数求导公式
• 本定理解决:由一个二元方程式确定的一元隐函数求导法

部分推导

• 隐函数存在定理1的唯一存在性的推导需要专业知识,略过
• 在已知能确定函数(即式(1))前提下,推导公式(2)

• 将式(1)代入到式(0),得恒等式(3),其左端可以看作是的一个复合函数
• 因此,对(3)或(0)两边求全导数:=0(4)
• 由条件(P0),连续,且,所以存在的一个邻域,在该邻域内(5)(由连续可知,时而是趋于一个非0数,因此在的某个邻域内,)
• 从而可以将是(4)变形为=

Note

• 定理中条件下,方程确定的是关于的函数
• 若定理中的条件改为,那么方程确定的函数是关于的函数

例

• 已知二元方程,求

• 设=
• 则=;;代入公式(2)得:

推广

• 本定理可以推广到多元函数
• 一个二元方程可以确定一个一元隐函数
• 一个三元方程可以确定一个二元隐函数

隐函数存在定理2

• 设函数在点的某一邻域内有连续偏导数,且(1),
• 则方程(2)在点的某个邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(3),它满足,且

• (3-1)
• (3-2)

• 本定理解决:由一个三元方程式确定的二元隐函数求导法

• 公式中计算都是多元函数偏导问题,不涉及复合函数偏导

部分推导

• 将式(3)代入(2),得;分别对边求的偏导

• ;

• 由条件,将上述两式变形得(3-1,3-2)

隐函数存在定理3

• 本定理解决方程组(2个四元方程)所确定的二元函数的导数求法,本定理和线性方程组的解问题相关
• 设,(1)在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又,(2)且偏导数所组成的函数行列式(可称为雅可比(Jacobi)式)

• == (3)

• 在点不等于0,则方程组(2)在点的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数;,它们满足;,且有公式组(4):(4-1,4-2,4-3,4-4)

1. ==
2. ==
3. ==
4. ==

公式的应用

• 从公式组(3),(4)可以看出,为了是用公式需要计算出,再根据需要计算的自变量的偏导数来计算或中的一组
• Note

• 计算或时,要注意是4元函数,自变量为,当对求关于的偏导数时,要当作常数,特别是,这里不应视为关于的函数;即,要明确对求的偏导和对这个复合函数求的偏导是不同的,前者的是自变量,后者的是中间变量,需要以复合函数求导的方式计算(
• 计算时类似

部分推导

• 由于;
• 将恒等式两边分别对求导,得方程组(5)

• (5-1)
• (5-2)

• 方程组(5)是关于线性方程,(可以分别将(5-1,5-2)变形为(6)

• = (6-1)
• =(6-2)
• 这是更加标准的线性方程组形式,方程组右端分别为而不是

• 由Cramer法则,当线性方程组(6)的系数行列式时方程组(6)有唯一解,即(4-1,4-2)

• ===
• ===

• 类似的可以得到(4-3,4-4)
• 公式组可以不记忆,掌握推导过程,可以直接对具体的应用推导出结果