文章目录
- abstract
- 奇函数和偶函数
- 函数奇偶性性质
- 函数记号声明
- 四则运算性质
- 和差
- 乘积
- 商
- 复合性质
- 奇函数复合偶函数
- 偶函数复合奇函数
- 奇函数复合奇函数
- 偶函数复合偶函数
- 奇偶性小结🎈
- 倍乘非零常数不改变奇偶性
- 奇函数和偶函数表示定义域对称函数
abstract
- 函数奇偶性性质:函数四则运算和复合运算后的奇偶性判断
奇函数和偶函数
- 若
的定义域关于原点对称,则当
,称
为偶函数
,称
函数奇偶性性质
函数记号声明
均表示奇函数
均表示偶函数
四则运算性质
和差
- 偶(奇)函数相加得到的新函数仍为偶(奇)函数
- 奇函数相加减,得到的新函数还是奇函数
- 合起来写:
=
- 偶函数相加减得到的新函数仍为偶函数
- 奇函数
偶函数的结果没有一般性的定论
乘积
上述三条分别表明:
- 奇函数乘偶函数结果为奇函数
- 偶函数乘偶函数结果为偶函数
- 奇函数乘奇函数结果为偶函数
商
- 令:
,
,
,或
,都有
,则
- 即
- 分子分母奇偶性相同时,结果为偶函数
- 分子分母奇偶性不同时,结果为奇函数
- 例如:
为偶函数,而
为奇函数
复合性质
,
的奇偶性
- 例如,
;
- 显然
是个奇函数(反比例函数);
是偶函数;
则是偶函数
- 为了便于提高推导效率,沿用前面的
的含义(分别表示奇函数和偶函数)
奇函数复合偶函数
=
- 特例助记:
偶函数复合奇函数
奇函数复合奇函数
偶函数复合偶函数
奇偶性小结🎈
- 奇函数
- 偶函数
- 奇函数
- 乘法和除法运算得到的新函数的奇偶性判定方式十分一致
- 奇偶性相同的函数乘积或商是
偶函数 - 奇偶性不同的函数乘积或商是
奇函数 - 乘以或除以一个
偶函数不改变原函数的奇偶性
- 仅在奇函数相互复合的情况下才得到奇函数
- 偶函数与任何奇函数或偶函数复合都得到偶函数,
- 反之亦然:任何奇函数或偶函数与偶函数复合都得到偶函数
倍乘非零常数不改变奇偶性
- 设k为非零常数
,容易通过奇偶性定义验证,
的奇偶性和
- 事实上,常数是特殊函数(常数函数),而且是偶函数,从而
奇函数和偶函数表示定义域对称函数
- 定义域关于原点对称的普通函数
,可以表示为奇函数和偶函数之和
,
;
分别是奇函数和偶函数
- 所以结论成立