文章目录
- abstract
- 一元函数可导和连续的关系👺
- 推论
- 证明
- 小结
- 多元函数情形
- 多元微分相关理论
- 可导与可微在一元和多元函数情形下比较
- 不同点
- 共同点
- 小结
- 例
abstract
- 一元函数和二元函数的连续@可导@可微关系
一元函数可导和连续的关系👺
- 若函数
在
处可导,则函数在该点处必连续
- 反之则不成立,即连续不一定可导(连续是可导的必要不充分条件)
- 例如
,其在
连续,但在
处却不可导,因为
=
=
,即不可导,即
在
处有垂直于
轴的切线
推论
- 导数存在的点一定有定义,即:
存在,则
有定义
- 因为可导一定连续,若
在
处无定义,则一定是不连续的,这和可导必连续矛盾
证明
- 设函数
在点
处可导,即
=
存在,并由极限和无穷小的关系可知
=
(1)(其中)
- 将式(1)变形(两边同时乘以
)得
- 从而
,因此
- 因此有
,
一定有定义(存在)
小结
多元微分相关理论
- AM@二元函数全微分函数可导@可微@连续的关系
