文章目录

• abstract
• 双曲函数

• refs
• 图像预览
• 双曲正弦
• 双曲余弦
• 双曲正切
• 公式组1
• 导出公式组2

• 反双曲函数

• 图象预览
• 反双曲正弦函数的自然对数表示

• 性质

• 反双曲余弦

• 性质

• 反双曲正切

abstract

• 双曲函数和反双曲函数得定义,图象和性质

双曲函数

• 双曲函数由和进行基本运算产生
• 关于轴对称,且
• 名称由来:因为双曲函数和三角函数中的正弦,余弦,正切函数的公式和性质相似因此称为正切双曲,双曲余弦,双曲正切
• 还有类似的反双曲

refs

• Hyperbolic functions - Wikipedia

图像预览

双曲正弦和双曲余弦	双曲正切

双曲正弦

• =,

• ,单调递增
• 奇函数,图形过原点且关于原点对称

双曲余弦

• =

• 

• 单调第减
• 单调增加
• 是函数最小值

• 偶函数,图形过且关于轴对称

双曲正切

• ==

• ,单调增加
• 
• 奇函数,图形过原点且关于原点对称

公式组1

1. =+
2. =-
3. =+
4. =-

• 将上述等式两边展开成指数形式化简即可证明
• 注意其中(3,4)两个方程和展开后的,形式恰好相反

导出公式组2

• =

• 代入(1-1)即得

• =

• 代入(1-3)

• 

• 代入(1-4)即得

反双曲函数

• ,则为反双曲正弦
• ,,则,为反双曲余弦
• ,则,为反双曲正切

图象预览

反双曲正弦	反双曲余弦	反双曲正切

反双曲正弦函数的自然对数表示

• ,则,即
• 令,则,两边同时乘以,得;即
• 可见,这是一个关于的一元二次方程,其根=

• ,所以即

• 
• 

• 因此

• 由于,所以,所以反双曲正弦表示为=

性质

• 函数很常见,其性质如下:

• 定义域,内单调增加,且过原点的奇函数
• 值域

反双曲余弦

• 类似反双曲正弦的分析,可得=

• 由,,则=,,
• 令,则,两边同时乘以,得;即
• 得,
• 从而,由于,则,所以

• 事实上,时,,两式相加得,因此该式满足要求
• 而,,,则,和矛盾因此舍去

• 从而

性质

• 定义域:,上单调递增,值域

反双曲正切

• =

• ,即;令,则,即,得
• 由于,所以取正,即
• ==

• 定义域,内递增的奇函数

,