文章目录

• abstract
• 相关概念

• 最值👺
• 无最值的情况
• 零点

• 连续函数的性质

• 连续函数的四则运算
• 复合函数的连续性

• 连续复合函数极限关系

• 基本初等函数的连续性

• 推论

• 反函数的连续性

• 闭区间连续函数的性质👺

• 零点定理
• 介质定理

• 证明
• 推论@另一种表述
• 推广

• 一致连续性

• 例
• 一致连续性定理

abstract

• 闭区间上连续函数的性质定理
• 一致连续性

相关概念

最值👺

• 我们将最小值和最大值定义合起来写
• 在区间上有定义的函数,若,使得,都有(),则是函数在区间上的最大值(最小值)

无最值的情况

• 函数在区间内有最值的不充分条件

1. 函数在开区间内连续
2. 或在闭区间上有间断点(说明函数可能无界,即使有界也不一定有最值)

• 区间内有界是有最值的必要不充分条件
• 区间内连续是不必要条件
• 例在上虽然连续,但是其无界,所以无最值;
• 例:分段函数

• 

• =;
• =,
• =

• 在闭区间上虽然有界但是出现孤立点(处左连续和右连续都不成立)
• 是的一个上界,但是是取不到这个上界值,只能说,也就是没有一个确定的具体的自变量取值能够使成立;也是类似的

零点

• 若则称为的零点

• 零点是自变量的一个取值,而不是一个坐标点
• 是图形和轴的交点的横坐标(轴分量)

连续函数的性质

连续函数的四则运算

• 若都在处连续,则两函数经过四则运算后的在处也连续

• 对于除法运算,要求分母不为0

复合函数的连续性

• 设函数在处连续(1),在处连续(2),且(3),则复合函数在处也连续
• 由连续和极限的关系可知,该定理表明=

连续复合函数极限关系

• 由(1):=,(1-1)
• 由(2)(3):==,(2-1)
• 又由复合函数极限运算法则:=(4),
• (2-1)代入(1-1),有关系式=,代入(4),所以=

基本初等函数的连续性

• 基本初等函数在其定义域上是连续的

推论

• 初等函数在其定义域上都是连续的

反函数的连续性

• 设在某个区间上连续且单调,则其反函数在对应区间上同样连续单调,且单调性和相同的单调性

闭区间连续函数的性质👺

• 设在闭区间上连续,则

• 在上有界(有界性定理),且同时有最小值和最大值(最值定理)
• 若,则至少存在一点,使得(零点定理)
• 设,则至少有一点,使得(介值定理)

• 特别地:,则至少有一点,使得

• 有界性定理,最值定理和零点定理证明从略,仅介绍介值定理的证明

零点定理

• 设函数在上连续,且,则开区间内至少有一点使得

• 表明,,所以这里强调在开区间而不是

• 具体可能有,或两种可能

介质定理

• 从闭区间端点及其函数值的角度描述
• 设函数在闭区间上连续,且,则,内至少有一点,使得,
• 即可以取开区间内的任意值

证明

• 设,,因为在上连续,则在闭区间上连续,且,所以,即与异号
• 由零点定理,开区间内至少有一点,使得
• 由,
• 几何意义:连续曲线弧与水平直线至少相交于一点

推论@另一种表述

• 从最值的角度描述
• 设在闭区间上连续,且,则,则使得成立
• 证明:

• 设,且,,且(这里大小关系可能为或)
• 在闭区间(或)上应用介值定理,可知可以取即内的任意值

推广

• 若,则内至少有一点,使得
• 证明:

• 的情形前面已证明
• 分别讨论的情形

• 时,显然有,,
• 时,显然有,

• 所以命题仍然成立

一致连续性

• 设函数在区间上有定义,若,使得,当时有则称在区间上一致连续

• 一致连续性表明,不论在区间的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度,就可以使得对应的函数值达到所指定的接近程度
• 在上连续"语言"表述:设在上连续,是上的任意一点,则 ,当时,就有
• 通常和有关,还和取定的有关(即使不变,取上的另一个点,原来求得的不一定还适用了)
• 如果仍然适用,即存在着"只和有关,而对区间上的任意点作为都能适用的正数",(,只要,则),这种函数在上是一致连续的

• 由定义,若在上是一致连续的,则在上也是连续的,反之则不成立

例

• ,定义上是连续的但不是一致连续的

• 连续性:初等函数显然连续,其某一个部分区间内也连续
• 假设满足一致连续性,则,使得,当时,
• 不妨取(或者),,,,(1)从而=,只要足够到就足够小
• 
• 即按照(1)的取法,无论如何接近(但不相等),始终等于1而无法任意接近,因此不满足一致连续性定义(找不到满足条件的)

一致连续性定理

• 若在闭区间上连续,则它在该区间上也一致连续

• 但如果时半开区间上连续,则推不出一致连续