EM@反函数和复合函数-摩杜云开发者社区

文章目录

abstract

反函数域复合函数的非映射的直接定义

反函数

直接函数
反函数表示
单调函数和反函数
存在反函数的函数不一定是单调的👺
互为反函数的两个函数的图形特点
自反性质

复合函数

复合顺序
复合条件

多重复合

abstract

基于映射定义的反函数和复合函数
反函数相关性质
函数复合的条件
复合函数的定义域求解

反函数域复合函数的非映射的直接定义

另见:AM@映射@逆映射@复合映射

反函数

作为逆映射的特例,可以定义如下反函数概念
设函数 $EM@反函数和复合函数_复合函数$ 是单射,则它存在逆映射 $EM@反函数和复合函数_反函数_02$ ,称此映射为函数 $EM@反函数和复合函数_复合函数_04$ 的反函数

这里 $EM@反函数和复合函数_定义域_05$ 表示的值域

由反函数定义, $EM@反函数和复合函数_反函数_08$ ,有唯一的 $EM@反函数和复合函数_定义域_09$ ,满足 $EM@反函数和复合函数_函数定义_10$ ,于是 $EM@反函数和复合函数_定义域_11$ (或作 $EM@反函数和复合函数_复合函数_12$ )
即,的对应法则完全由函数 $EM@反函数和复合函数_复合函数_04$ 的对应法则所确定
例如: $EM@反函数和复合函数_函数定义_15$ 是单射,所以它的反函数存在,且其反函数 $EM@反函数和复合函数_函数定义_16$

直接函数

相对于反函数 $EM@反函数和复合函数_函数定义_17$ 而言,原来的函数 $EM@反函数和复合函数_反函数_18$ 称为直接函数
直接函数和反函数互为反函数

反函数表示

对于 $EM@反函数和复合函数_定义域_19$ 的反函数 $EM@反函数和复合函数_复合函数_12$ ,习惯上自变量用字母 $EM@反函数和复合函数_定义域_21$ 表示,而因变量用字母 $EM@反函数和复合函数_函数定义_22$ 表示

例如 $EM@反函数和复合函数_定义域_23$ 的反函数通常写作 $EM@反函数和复合函数_函数定义_24$

一般地, $EM@反函数和复合函数_定义域_19$ 的反函数记为 $EM@反函数和复合函数_定义域_26$

单调函数和反函数

若 $EM@反函数和复合函数_复合函数_04$ 是定义在 $EM@反函数和复合函数_复合函数_28$ 上的单调函数,则 $EM@反函数和复合函数_复合函数$ 是单射,于是 $EM@反函数和复合函数_复合函数_04$ 必定存在反函数,且也是单调的
证明:以单调增加为例,单调减少类似

不妨设在 $EM@反函数和复合函数_复合函数_34$ 上单调增加,我们证 $EM@反函数和复合函数_定义域_35$ 在 $EM@反函数和复合函数_定义域_05$ 上同样单调增加
$EM@反函数和复合函数_函数定义_37$ ,且 $EM@反函数和复合函数_函数定义_38$ ,按函数的定义:

对于 $EM@反函数和复合函数_复合函数_40$ ,在内存在唯一的原像 $EM@反函数和复合函数_函数定义_42$ 使得 $EM@反函数和复合函数_复合函数_43$ ,从而 $EM@反函数和复合函数_反函数_44$
对于,在内存在唯一的原像使得 $EM@反函数和复合函数_复合函数_48$ ,从而 $EM@反函数和复合函数_函数定义_49$
方法1:因为 $EM@反函数和复合函数_函数定义_50$ ,且函数 $EM@反函数和复合函数_函数定义_51$ 单调增加,所以 $EM@反函数和复合函数_函数定义_52$ ,即 $EM@反函数和复合函数_定义域_53$ .即 $EM@反函数和复合函数_函数定义_54$ 在 $EM@反函数和复合函数_函数定义_55$ 上单调增加
方法2:若 $EM@反函数和复合函数_反函数_56$ ,则由 $EM@反函数和复合函数_反函数_57$ 单调增加,;若,则 $EM@反函数和复合函数_函数定义_60$ ,显然这两种假设都和 $EM@反函数和复合函数_函数定义_50$ 矛盾,所以 $EM@反函数和复合函数_函数定义_52$ ,即 $EM@反函数和复合函数_定义域_53$ .即 $EM@反函数和复合函数_函数定义_54$ 在 $EM@反函数和复合函数_函数定义_55$ 上单调增加

存在反函数的函数不一定是单调的👺

根据互为反函数的函数的图形特点,容易构造(找出)一个不单调的分段函数 $EM@反函数和复合函数_函数定义_66$ 其存在反函数的例子
$EM@反函数和复合函数_复合函数_67$
这个函数的反函数是其ben’shen

互为反函数的两个函数的图形特点

如果把直接函数 $EM@反函数和复合函数_定义域_68$ 和它的反函数 $EM@反函数和复合函数_函数定义_69$ 的图形画在同一个坐标系上,则这两个图形关于 $EM@反函数和复合函数_函数定义_70$ 对称

若 $EM@反函数和复合函数_函数定义_71$ 在 $EM@反函数和复合函数_复合函数_72$ 的图形上,则 $EM@反函数和复合函数_复合函数_73$
由反函数定义, $EM@反函数和复合函数_反函数_74$ 满足 $EM@反函数和复合函数_反函数_75$ ,即 $EM@反函数和复合函数_反函数_76$ 在函数 $EM@反函数和复合函数_定义域_77$ 的图形上
反之,若 $EM@反函数和复合函数_反函数_76$ 是 $EM@反函数和复合函数_定义域_77$ 上的点,有 $EM@反函数和复合函数_反函数_75$ , $EM@反函数和复合函数_复合函数_73$ ,即 $EM@反函数和复合函数_函数定义_71$ 是 $EM@反函数和复合函数_复合函数_72$ 上的点
而 $EM@反函数和复合函数_反函数_84$ 是关于直线 $EM@反函数和复合函数_定义域_85$ 对称,所以 $EM@反函数和复合函数_函数定义_86$ 关于直线 $EM@反函数和复合函数_定义域_85$ 对称

在同一直角坐标系内, $EM@反函数和复合函数_定义域_68$ 和 $EM@反函数和复合函数_函数定义_89$ 的图形重合(一致)

函数 $EM@反函数和复合函数_反函数_90$ 自变量为 $EM@反函数和复合函数_复合函数_91$ ,对应于 $EM@反函数和复合函数_复合函数_91$ 轴,因变量 $EM@反函数和复合函数_定义域_93$ 对应于 $EM@反函数和复合函数_定义域_93$ 轴
设 $EM@反函数和复合函数_反函数_95$ 的坐标为 $EM@反函数和复合函数_定义域_96$ 是 $EM@反函数和复合函数_反函数_90$ 上的点,则有 $EM@反函数和复合函数_反函数_98$ 即 $EM@反函数和复合函数_反函数_75$ ,
由反函数定义,有 $EM@反函数和复合函数_复合函数_73$ ,即 $EM@反函数和复合函数_复合函数_101$ 是 $EM@反函数和复合函数_复合函数_72$ 上的点
所以 $EM@反函数和复合函数_函数定义_71$ 同时在 $EM@反函数和复合函数_反函数_90$ , $EM@反函数和复合函数_复合函数_72$ 的图形上,类似的, $EM@反函数和复合函数_复合函数_72$ 上的点也都在 $EM@反函数和复合函数_反函数_90$ 上
所以结论成立

自反性质

由反函数的定义:

$EM@反函数和复合函数_定义域_108$ ,
$EM@反函数和复合函数_复合函数_109$

复合函数

复合函数是复合映射的一种特例
设函数 $EM@反函数和复合函数_复合函数_110$ , $EM@反函数和复合函数_函数定义_111$ ,且其值域 $EM@反函数和复合函数_定义域_112$ ,则:函数 $EM@反函数和复合函数_复合函数_113$ , $EM@反函数和复合函数_定义域_114$ 称为 $EM@反函数和复合函数_函数定义_115$ 和 $EM@反函数和复合函数_函数定义_116$ 构成的复合函数;它的定义域为 $EM@反函数和复合函数_反函数_117$ ,
变量 $EM@反函数和复合函数_反函数_118$ 称为中间变量,中间变量应用在某些定理的证明上可以提供方便

$EM@反函数和复合函数_复合函数_119$ , $EM@反函数和复合函数_反函数_120$ 构成的复合函数 $EM@反函数和复合函数_函数定义_121$

复合顺序

函数 $EM@反函数和复合函数_函数定义_122$ (内层函数)和 $EM@反函数和复合函数_复合函数_04$ (外层函数)构成的复合函数,即按"先 $EM@反函数和复合函数_函数定义_122$ 后 $EM@反函数和复合函数_复合函数_04$ "的次序复合的函数极记为,即 $EM@反函数和复合函数_反函数_127$ = $EM@反函数和复合函数_函数定义_128$

复合条件

和复合映射相仿, $EM@反函数和复合函数_定义域_129$ 有意义的条件是 $EM@反函数和复合函数_定义域_130$
某些不满足复合条件的函数,通过将内层函数的定义域加以限制得到新的函数,可以得到可复合的函数组
例如 $EM@反函数和复合函数_定义域_129$ 无意义,但是限制定义域后的 $EM@反函数和复合函数_复合函数_132$ 可以和 $EM@反函数和复合函数_函数定义_133$ 复合: $EM@反函数和复合函数_定义域_134$
一般地,只要是 $EM@反函数和复合函数_函数定义_135$ ,则存在 $EM@反函数和复合函数_复合函数_132$ 使得 $EM@反函数和复合函数_定义域_134$ 有意义,
通常,为了简便,我们仍然称 $EM@反函数和复合函数_定义域_134$ 为函数 $EM@反函数和复合函数_反函数_139$ 和函数 $EM@反函数和复合函数_函数定义_133$ 地复合函数

例

$EM@反函数和复合函数_复合函数_141$ 的定义域 $EM@反函数和复合函数_复合函数_142$ , $EM@反函数和复合函数_反函数_143$ 的值域为 $EM@反函数和复合函数_复合函数_144$ ,显然 $EM@反函数和复合函数_反函数_145$ ,因此 $EM@反函数和复合函数_函数定义_146$ 不能构成复合函数
但是若将 $EM@反函数和复合函数_函数定义_122$ 作一定的限制,限制在 $EM@反函数和复合函数_复合函数_148$ 的一个定义域的子集 $EM@反函数和复合函数_复合函数_149$ 上,那么 $EM@反函数和复合函数_反函数_150$ ,则 $EM@反函数和复合函数_定义域_151$ , $EM@反函数和复合函数_反函数_152$ 和 $EM@反函数和复合函数_复合函数_04$ 就可以复合为 $EM@反函数和复合函数_函数定义_154$ = $EM@反函数和复合函数_定义域_155$ , $EM@反函数和复合函数_定义域_09$