文章目录

• abstract
• 直线参数方程

• 从运动轨迹的角度
• 从普通方程转换导参数方程
• 向量法

• 参数方程间的转换

• 从第3型转化为第2型方程组

• 例

abstract

• 平面直线的参数方程的3种表示形式
• 直线参数方程间的转换

直线参数方程

• 以下从不同角度推导直线参数方程
• 分别记为第1,2,3形式参数方程

从运动轨迹的角度

• 直线可以看作是质点匀速运动的曲线
• 设质点从出发,沿着与轴成角的方向作匀速直线运动,其速录为,把速度再轴上分解,大小分别为,
• 设为时刻质点所在位置,则如下参数方程组(1)

• ;
• ;

• 若不考虑物理意义,取参数,方程组(1)就是直线的一种参数方程,参数为

从普通方程转换导参数方程

• 设直线的点斜式方程为

• 其中,为直线的倾斜角();
• 则=,
• 即=,令其比值为参数,即有

• ,=
• 这里的参数有明显的几何意义:表示直线上的任一点到定点的距离

• 整理:得方程组(2)参数,

• ;
• 

向量法

• 设直线过点,且与平面向量平行,
• 在直线上任取点,则向量,=
• 两向量平行的充要条件是,记该比值式比值为,
• 整理得方程组(3)

• ,
• ,
• 参数

参数方程间的转换

从第3型转化为第2型方程组

• 方法1:

• 设(3)转换的第2型方程组为

• 和(3)比较可知,;,则
• 只要求出,关于的表示式即可:

• =
• 
• 根据的来取定两个式子的符号:
• 
• 

• 方法2:

• 由于2型方程中的是直线的倾斜角,因此,根据直线某个同向方向向量可得
• :;
• :;
• 两组都可以:验证:

• :;
• :;
• 当时和时都同时在上,说明是同一条直线
• 或者分别将,化为普通方程,可得相同的直角坐标方程:

例

• 设直线;;将其表示为第2形式参数方程
• 从第3型转化为第2型:

• =;==
• 另一组取值,也可以
• 两组取值都有()
• 所以

• ;
• ;