文章目录

• abstract
• 圆的参数方程

• 匀速圆周运动的轨迹

• 从普通方程直接转化为参数方程

• 任意位置圆心的方程

• 参数方程
• 一般方程
• 例

• 交点问题的参数方程法

• 圆锥曲线的参数方程

• 椭圆参数方程

• 例
• 椭圆内接矩形的最大面积问题

• 抛物线参数方程

• 一般位置的抛物线
• 例

• 双曲线的参数方程

• 点到双曲线的最短距离
• 例

abstract

• 圆和圆锥曲线的参数方程
• 
  

圆的参数方程

匀速圆周运动的轨迹

• 圆可以看作是质点作匀速圆周运动下的轨道曲线
• 质点以匀角速度作圆周运动,圆心在原点,半径为

• 下面建立运动的轨迹方程.
• 记为时间，运动开始时，质点位于点处,

• 在时刻，质点位于点处.
• 由物理学知识，,为轴正向到向径所成的角,

• 因此得参数方程组(1):

• ;;

• 这是圆周运动的轨迹方程,参数为
• 也可以以作为参数(此时参数具有明显的意义),方程(2):

• ;;

从普通方程直接转化为参数方程

• 主要应用毕达哥拉斯三角恒定关系:实现转换
• 方程(2)可以由圆的普通方程转化得出

• ;即=
• 令;,则得到方程(2)

• 这个方法对于其他的一些二次曲线也有效,例如圆锥曲线

任意位置圆心的方程

• 若圆心在点,半径为,则圆的参数方程:

• 坐标系原点平移到处得到的新坐标系记为,(重合)

参数方程

• 以可建立参数方程,;
• 再根据平移的坐标变换公式,,,代入上述方程得:

• 
• 

• 即有方程(3):

• 
• 

一般方程

• 
• 代入坐标变换公式即有

例

• 圆心,半径为的参数方程:,

交点问题的参数方程法

• 设直线的参数方程为;(1);圆的方程为(2)
• 将(1)代入(2)得:;即,
• 令,分别代入直线方程,的两个交点,

圆锥曲线的参数方程

• 某些研究领域中,圆锥曲线的参数方程比一般方程更加方便,尤其式椭圆的参数方程应用广泛

椭圆参数方程

• 设椭圆普通方程为;即
• 令,则;取
• 得中心在坐标原点时得椭圆参数方程(1):

• ;;

• 一般位置椭圆:

• 若椭圆中心位于,则结合坐标平移变换公式得椭圆一般方程(1-1)

• ;;

• 普通方程:

例

• 设椭圆方程为,求参数方程

• 椭圆中心为,,
• 参数方程为;,

椭圆内接矩形的最大面积问题

• 设椭圆,求其内接最大矩形面积

• 椭圆参数方程为,
• 设第一象限内椭圆上一点,由椭圆的对称性,内接举行的面积为

• ==

• 可见,当时,取最大值
• 此时坐标为

抛物线参数方程

• 设抛物线普通方程为;
• 只需令,则,即得参数方程(1)

• ;

• 但为了使形式更加协调,通常令;即,有方程(2)

• 
• 

一般位置的抛物线

• 由坐标平移变换公式,平移到点为定点的位置的曲线方程为

• 若仅作水平方向的平移,则,从而方程为=,顶点为

• ,则,
• 例如,变形为;
• 即顶点为的和形状相同的抛物线

• 若仅作竖直方程的平移,,顶点为

• 对于,其,,顶点为
• 例如,其顶点为
• 
  

例

• 点为上的动点,给定,点为线段的中点;求点的轨迹方程

• 参数方程为:;;
• 点=

• 可见的轨迹的参数方程为:;
• 普通方程为

双曲线的参数方程

• 设中心为坐标原点的双曲线的普通方程为(1)

• 参考三角恒等式
• 令,,得参数方程(2)

• ;

点到双曲线的最短距离

• 点到的最短距离问题

例

• 设到双曲线的最小距离

• 双曲线的参数方程为;
• 设点,则===
• 可见,当时,即时,取最小值,取最小值
• 所以