文章目录

abstract

• 极坐标系@极坐标和直角坐标的变换公式
• 直角坐标平移公式
• 曲线的极坐标方程

• 圆的极坐标方程
• 圆锥曲线的极坐标方程

平面上的极坐标

• 在平面上取:

• 一个顶点,(称为极点)
• 由点出发的一条射线,(称为极轴)
• 一个长度单位
• 计算角度的正方向(通常取逆时针方向),

• 这四个要素合称为一个极坐标系

极坐标

• 和最常见的直角坐标系一样,极坐标系也是一种坐标系
• 极坐标系上确定一个点的两个部分:极径和极角
• 平面上的任意一点的位置可以由线段的长度(极径)和到的角度(极角)来刻画,记为

极坐标中位置和点的对应关系

• 在极坐标中,一般限定;当时,就与极点重合,此时不确定

• 若时,规定就是,;即点在与极轴成角的射线的反向延长线上,它到极点的距离为
• 在通常情况下,总认为,只有在事先说明的条件下,才允许取

• 坐标确定唯一一个位置:给定点的极坐标,就唯一确定了平面上的一个点
• 但是平面上的一个点的极坐标并不是唯一的,他又无穷多种表示形式,因为是任意角,终边相同的任意角有无穷多个
• 事实上,和代表同一个点,其中为整数
• 因此,平面上的点与它的极坐标不是一一对应的关系,这是极坐标和直角坐标的不同之处

极坐标的常用限定

• 若限定,,则除了极点外,平面上的点就能与它的极坐标构成一一对应的关系

极坐标描述对称点

• 点关于极轴的对称点,
• 关于极轴的垂线的对称点是,
• 关于极点的对称点是

极坐标变换为直角坐标

• 设点的直角坐标和基坐标分别为,,则:

• ;
• ;
• ;

• 这里r表示极径;表示极角;结合三角函数的定义,直角坐标用基坐标表示为

• 
• 

坐标系间同位置坐标的变换

极坐标上建立同原点直角坐标

• 设在平面上取定了一个极坐标系,以极轴作为直角坐标系轴的正半轴,以的射线作为轴的正半轴;以极点作为坐标原点;长度单位不变;即可建立一个直角坐标系

直角坐标系上建立常用极坐标系

• 以直角坐标系为参考,选出一个点作为极点,且极轴方向通常是轴正方向,单位长度不变,建立极坐标系

• 在直角坐标系中,以原点为极点,以轴正方向为极轴方向,单位长度不变,建立极坐标系
• 一般地,以直角坐标系上的任意点为极点,以轴正方向为极轴方向,单位长度不变,建立直角坐标系

极坐标与直角坐标的关系

• 由任意角的三角函数的定义:若点在:终边上,且,则的直角坐标用三角函数表示为,其中
• 对于极坐标为的点,其直角坐标的两个坐标分量为:,
• 而由直角坐标可以计算极坐标的极径和极角:;

极坐标和坐标系平移👺

• 直角坐标平移@refs

例

• 在直角坐标系中,以点为极点,以轴正方向为极轴方向建立极坐标系
• 则此时的极坐标和直角坐标间的转换公式是如何的?
• 分析

• 建立新直角坐标系我们以极坐标的极点作为的的坐标原点,轴作为的轴,并以极径作为轴正方向,单位长度不变
• 设是坐标面上的一点,坐标为
• 由直角坐标系平移公式,;,即的坐标为
• 由标准直角坐标和极坐标转换公式可知:

• ;

• 若的极坐标为,则的坐标为:;,

• 由直角坐标平移公式:的坐标为

曲线的极坐标方程

曲线的直角坐标方程

• 在给定平面直角坐标系下,若二元方程,满足以下两个关于曲线的条件,则称该方程为曲线的方程

• 曲线上的任意点坐标满足方程
• 所有满足方程的坐标所对应的点都在曲线上

• 总之,曲线是坐标满足方程的所有点的集合,曲线的直角坐标方程称为曲线的普通方程

方程和曲线的数形结合

• 建立了直角坐标系后,一个有序数对表示平面上的一个点,而一个二元方程表示一条平面曲线,这样就使数与形结合起来,使我们可以通过对数量关系的讨论来研究图形
• 另一方面也可以利用几何图形直观的演示函数方程中两变量之间的关系;几何图形中可能提示某些问题的解决途径

曲线的极坐标方程

• 在给定的平面上的极坐标系下,若方程所有点恰好构成曲线,则称次二元方程为曲线的极坐标方程
• 或者说,曲线由极坐标满足方程的所有点组成的,则称方程是的极坐标方程
• 由于平面上点的极坐标不唯一,所以曲线的极坐标有多组表示形式,这里要求曲线至少有一组极坐标表示能够满足极坐标方程即可
• 例如极坐标方程,点显然满足方程,但是的其他极坐标表示,例如不满足方程,但只要有一组表示满足方程,则称满足方程

简单极坐标方程形式

• 通常极坐标形如,即是的一个函数

极坐标点的对称性和图形对称性

• 由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程的图形对称性
• 若=,则图形关于极轴对称
• 若=,则图形关于射线所在直线对称
• 若,则图形关于极点对称

简单图形的极坐标方程

1. 表示以极点为圆心,以为半径的圆

• 因为极角无论取何值,极径总为1
• 也可以将极坐标用直角坐标表示,再判断图形:,从而显然是圆心为O,半径为R的圆

2. 表示极角为的射线

• 因为无论取何值,总是在的终边上

直线的极坐标方程

• 设极点到直线的距离为;由点像直线作垂线,且由极轴到垂线的角度为,求直线的极坐标方程
• 在直线上任意取一点,在直角三角形中,即

• 当时直线和极轴垂直,此时方程变为,
• 当时,直线和极轴平行,此时方程变为
• 若,则直线过极点,设此时直线与极轴的夹角为则直线方程为和

• 可见,直线极坐标方程形式比普通方程复杂,因此只有在特殊情况下采用直线的极坐标方程

圆的极坐标方程

圆心为处且过极点的圆

• ,

• 可以用描点法做出方程的草图,事实上,这是一个圆,圆心为;半径为
• 从对称性的角度分析,该方程满足=所以其关于极轴对称
• 意味着草图只要列出范围内的部分即可通过对称得到另一半

推导方式1

• 使用圆的内接直角三角形来推导,这里圆心不在极点上,而设半径为,圆心在上
• 直角坐标系上圆心在极轴上的点处,且圆过极点;为圆与极轴的另一交点
• 时为圆上的动点,连接;由平面几何知识可知;
• 在直角三角形中,由三角知识:,

推导方式2

• 由圆的直角坐标方程,在化为极坐标方程:
• 在直角坐标系上,设圆的半径为圆心在位置上
• 则圆的普通方程为,化为一般方程为:
• 由坐标变换公式,,即

例

• 求圆心为,半径为3(过极点)的圆的极坐标方程
• 由圆的极坐标公式:=,

圆心在点处且过极点的圆

• 类似上一种情况,也有两种方法推导方法,都可以得到:=,

• 使用内接直角三角形的三角关系时分和两种情况讨论,均有成立
• 使用直角坐标方程,代入变换公式可得,

例

• 求圆心为且过极点的圆的极坐标方程和直角坐标方程
• 解:

• 由公式可知,该圆的极坐标方程为,
• 方程两边同时乘以,得,由坐标变换公式,

圆心在任意处的圆的方程

• 平面直角坐标系的坐标为圆心,为半径的圆的方程是

• 我们用坐标系平移的方法解释这个方程
• 在处为坐标原点,分别以轴正方向为轴正方向,建立直角坐标系
• 则圆的方程为(1)
• 由直角坐标平移公式;;代入(1)得

• 当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时,要建立圆的极坐标方程,通常将建立的极坐标的极点放置在圆心处,极轴与轴同向
• 如此圆的坐标方程就是

例

• 写出圆心在点处,且过原点的圆的直角坐标方程;并把它化为极坐标方程

• 显然该圆的半径为,直角坐标方程为,即
• 在用坐标变换公式得,即

应用

利用极坐标求轨迹方程

• 从极点作圆的弦,求各条弦中点的轨迹方程
• 设圆上的点,则是圆的弦,设其中点为,则,即,
• 而,所以,即有,
• 可见方程是一个以为圆心;半径的圆

极坐标和圆锥曲线

• 三种圆锥曲线的共同几何特征是:圆锥曲线是某定点(焦点)和某定制线(准线)的距离之比等于常数(离心率)的点的轨迹
• 圆锥曲线极坐标方程可以统一为一种形式:;为参数,为自变量
• 我们来推导它

• 以平面上的一个点(焦点)为极点,为极轴建立极坐标系
• 与准线垂直,极轴所在的直线与交于点;
• 设曲线方程为,在曲线上任取一点,

• 过点作垂直于于点
• 过极点作垂直于于点;
• 交曲线于点,再作,

• 记,当离心率给定后,圆锥曲线就完全去欸的那个了
• 令;;==,,=
• 其中,,,则;所以,
• 由几何关系:,即,即
• 变形为

根据离心率分类圆锥曲线

• 方程中的参数确定了曲线的3个类型

• 时为椭圆
• 时为抛物线
• 时为双曲线

形状参数

• 参数则确定了各类曲线的形状

• 对于抛物线而言,就是标准方程中的,表示焦点到准线的距离
• 对椭圆和双曲线而言,可以用半轴表示
• 焦点到准线的距离为,所以
• ==,即