矩阵的初等变换
一、初等变换
1. 初等变换的定义
下面三种变换称为矩阵的初等行变换
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对调两行（对调$i,j$两行，记作$r_{i}\leftrightarrow r_j$
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以数$(k\ne0)$乘某一行中的所有元素（第$i$行乘$k$，记作$r_{i}\times k$）
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把某一行所有元素的$k$倍加到另一行对应的元素上去（第$j$行的$k$倍加到第$i$行，记作$r_{i}+kr_{j}$）
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“$r$“换成”$c$“）。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换
2. 行最简形矩阵的定义
非零行的第一个非零元为$1$，且这些非零元所在的列的其他元素都为$0$
例如：$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 1 & 0 & 3 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
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非零行的第一个非零元为$1$：第一、二、三行的第一个非零元都是$1$
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且这些非零元所在的列的其他元素都为$0$：如第二行的第一个非零元，即$1$，其所在的列其他元素都为$0$
二、矩阵等价
1. 矩阵等价的定义
如果矩阵$A$经过有限次初等行变换变成矩阵$B$，就称矩阵$A$与矩阵$B$行等价，记作$A\overset{r}{\sim} B$；如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵$B$，就称矩阵$A$与矩阵$B$列等价，记作$A\overset{c}{\sim} B$；如果A经过有限次初等变换变成矩阵$B$，就称矩阵$A$与矩阵$B$等价，记作$A \sim B$。（$A,B$是同型矩阵）
2. 矩阵等价的性质
矩阵之间的等价关系具有以下性质
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反身性：$A\sim A$
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对称性：若$A\sim B$，则$B\sim A$
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传递性：若$A\sim B,B\sim C$，则$A\sim C$
3. 矩阵等价的定理
设$A$与$B$为$m\times n$矩阵，那么：
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$A\overset{r}{\sim} B$的充分必要条件是存在$m$阶可逆矩阵$P$，使$PA=B$
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$A\overset{c}{\sim} B$的充分必要条件是存在$n$阶可逆矩阵$Q$，使$AQ=B$
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$A\sim B$的充分必要条件是存在$m$阶可逆矩阵及$n$阶可逆矩阵$Q$，使$PAQ=B$
三、初等矩阵
1. 初等矩阵的定义
由单位阵$E$经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
2. 三种初等矩阵
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把单位阵中的第$i,j$两行（或第$i,j$两列）对调，得初等矩阵
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以数$k\ne0$乘单位阵的第$i$行（或第$i$列），得初等矩阵
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以$k$乘$E$的第$j$行加到第$i$行上或以$k$乘$E$的第$i$列加到第$j$列上，得初等矩阵
3. 初等矩阵的性质
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设$A$是一个$m\times n$矩阵，对$A$施行一次初等行变换，相当于在$A$的左边乘以相应的$m$阶初等矩阵；对$A$施行一次初等列变换，相当于在$A$的右边乘以相应的$n$阶初等矩阵
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方阵$A$可逆的充分必要条件是，存在有限个初等矩阵$P_{1},P_{2},\cdots,P_{l}$，使$A=P_{1}P_{2}\cdots P_{l}$
例1：设$A=\begin{pmatrix}0 & -2 & 1 \ 3 & 0 & -2 \ -2 & 3 & 0\end{pmatrix}$，证明$A$可逆，并求$A^{-1}$
思路：构建矩阵$(A|E)$，将$A$的部分通过初等行变换变成$E$，同时$E$变成$A^{-1}$
$\begin{aligned}(A|E)&=\begin{pmatrix}0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\&E \text{的部分变成上三角矩阵}\&\rightarrow \begin{pmatrix}3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \ 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6\end{pmatrix}\&\text{将非主对角线上的数变成}0\ &\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 18 & 9 & 12 \ 0 & -2 & 0 & -8 & -4 & -6 \ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6\end{pmatrix}\&\text{主对角线上的值变为}1\&\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 6 & 3 & 4 \ 0 & 1 & 0 & 4 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6\end{pmatrix}\&=(E|A^{-1})\end{aligned}$
故$A^{-1}=\begin{pmatrix}6 & 3 & 4 \ 4 & 2 & 3 \ 9 & 4 & 6\end{pmatrix}$
矩阵的秩
一、$k$阶子式的定义
在$m\times n$矩阵$A$中，任取$k$行与$k$列（$k\leq m,k\leq n$），位于这些行列交叉处的$k^2$个元素，不改变它们在$A$中所处的位置次序而得的$k$阶行列式，称为矩阵$A$的$k$阶子式
二、矩阵的秩的定义
设在矩阵$A$中有一个不等于$0$的$r$阶子式$D$，且所有$r+1$阶子式（如果存在的话）全等于$0$，那么$D$称为矩阵$A$的最高阶非零子式，数$r$称为矩阵$A$的秩，记作$R(A)$（也可写作$r(A)$）。并规定零矩阵的秩等于$0$
三、矩阵秩的性质
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$0\leq R(A_{m\times n})\leq\min{m,n}$
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$R(A^{T})=R(A)$
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$R(AB)\leq\min{R(A),R(B)}$
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若$P,Q$可逆，则$R(PAQ)=R(A)$
证明：
$r(PAQ)\leq r(AQ)$
$r(AQ)=r(EAQ)=r(P^{-1}PAQ)\leq r(PAQ)$
$\therefore r(PAQ)=r(AQ)$
$r(AQ)\leq r(A)$
$r(A)=r(AE)=r(AQQ^{-1})\leq r(AQ)$
$\therefore r(A)=r(AQ)=r(PAQ)$
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$\max{R(A),R(B)}\leq R(A,B)\leq R(A)+R(B)$，特别的，当$B=b$为非零向量时，有$R(A)\leq R(A,b)\leq R(A)+1$
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$R(A+B)\leq R(A)+R(B)$
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若$A\sim B$，则$R(A)=R(B)$
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若$A_{m\times n}B_{n\times l}=O$，则$R(A)+R(B)\leq n$
求矩阵的秩，可以用定义求，建议将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵的秩为行列式的行值
例1：设$A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 \ 2 & -4 & 8 & 0 \ -2 & 4 & -2 & 3 \ -1 & -6 & 0 & -6\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}1 \ 2 \ 3 \ 4\end{pmatrix}$，求矩阵$A$及矩阵$B=(A,b)$的秩
$\begin{aligned}B=[A|b]&=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \ 2 & -4 & 8 & 0 & 2 \ -2 & 4 & -2 & 3 & 3 \ -1 & -6 & 0 & -6 & 4\end{pmatrix}\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \ 0 & 0 & 4 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \ 0 & -8 & 2 & -7 & 5\end{pmatrix}\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \ 0 & -8 & 2 & -7 & 5 \ 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \ 0 & 0 & 4 & 2 & 0\end{pmatrix}\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \ 0 & -8 & 2 & -7 & 5 \ 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\end{aligned}$
$\therefore r(A)=3,r(B)=4$
线性方程组的解
一、线性方程组的定义
设有$n$个未知数$m$个方程的线性方程组$\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\cdots\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}$，可以写成以向量$x$为未知元的向量方程$Ax=b$，则$n$元线性方程$Ax=b$
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无解的充分必要条件是$R(A)<R(A,b)$
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有唯一解得充分必要条件是$R(A)=R(A,b)=n$
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有无限多解得充分必要条件是$R(A)=R(A,b)<n$
$n$是未知数的个数，也是系数矩阵$A$的列数
二、步骤
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对$[A|b]$进行初等行变换，化为行最简形
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令自由未知量分别取$1$，其余取$0$，得到非自由未知量的值。得到基础解系$(n-r(A))$，即齐次方程通解$k_{1}\xi_{1}+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$
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令自由未知量取$0$，得到非自由未知量，即特解$\eta$，故非齐次方程通解$y+k_{1}\eta_1+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r}$
首先要先判断有没有解！
齐次方程组没有第三步。做了也是$O$矩阵
例1：求其次线性方程组$\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+x_{4}=0\2x_{1}+x_{2}-2x_{3}-2x_{4}\x_{1}-x_{2}-4x_{3}-3x_{4}\end{cases}$
$\begin{aligned}A&=\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 & 1 \ 2 & 1 & -2 & -2 \ 1 & -1 & -4 & -3\end{pmatrix}\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & -\frac{5}{3} \ 0 & 1 & 2 & \frac{4}{3} \ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{aligned}$
$n-r=4-2=2$
（此处根据令自由未知量分别取$1$，其余取$0$，得到非自由未知量的值。得到基础解系$(n-r(A))$，即齐次方程通解$k_{1}\xi_{1}+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$一步一步演示）
先设$\xi_{1}=\begin{pmatrix}\\1 \ 0\end{pmatrix},\xi_{2}=\begin{pmatrix} \ \ 0 \ 1\end{pmatrix}$
（注意，无论是非齐次还是齐次线性方程组，此处都不需要使用增广矩阵，只使用系数矩阵$A$）
将$\xi_{1}=\begin{pmatrix}\\1 \ 0\end{pmatrix}$分别代入矩阵
第一行得$x_{1}$的系数为$2$
第二行得$x_{2}$的系数为$-2$
则$\xi_{1}=\begin{pmatrix}2 \ -2 \ 1 \ 0\end{pmatrix}$
同理$\xi_{2}=\begin{pmatrix}- \frac{5}{3} \ - \frac{4}{3} \ 0 \ 1\end{pmatrix}$
（齐次线性方程组没有最后一步）
故通解为$x=\begin{pmatrix}x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4\end{pmatrix}=k_{1} \xi_{1}+k_{2}\xi_{2}=k_{1}\begin{pmatrix}2 \ -2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}+k_{2}\begin{pmatrix} \frac{5}{3} \ - \frac{4}{3} \ 0 \ 1\end{pmatrix}\quad(k_1,k_2$为任意常数$)$
例2：设有线性方程组$\begin{cases}(1+\lambda)x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\x_{1}+(1+\lambda)x_{2}+x_{3}=3\x_{1}+x_{2}+(1+\lambda)x_{3}=\lambda\end{cases}$，讨论方程组解的情况，并求无限解时的通解
法1：
$\begin{aligned}(A|b)&=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1+x & \lambda \ 0 & \lambda & -\lambda & 3-\lambda \ 0 & 0 & -\lambda(3+\lambda) & (1-\lambda)(3+\lambda)\end{pmatrix}\end{aligned}$
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当$\lambda\ne0$且$\lambda\ne-3$时，$r(A)=3=r(A|b)=3$，有唯一解
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当$\lambda=0$时，$r(A)=1\ne r(A|b)=2$，无解
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当$\lambda=-3$时，$r(A)=r(A|b)=2<3$，无限多解
当$\lambda=-3$时
$(A|b)=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -1 \ 0 & 1 & -1 & -2 \ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
$n-r=3-2=1$
$\therefore \xi=\begin{pmatrix}1 \ 1 \ 1\end{pmatrix},y=\begin{pmatrix}-1 \ -2 \ 0\end{pmatrix}$
$\therefore$通解为$y+k\xi\quad(k$为任意常数$)$
法2：
观察到系数矩阵$A$为方阵
有唯一解即$r(A)=r(A|b)=3 \Leftrightarrow|A|\ne0$
有无限多解$r(A)=r(A|b)<3\Leftrightarrow|A|=0$
$|A|=\begin{vmatrix}1+\lambda&1&1\1&1+\lambda&1\1&1&1+\lambda\end{vmatrix}=(3+\lambda)\lambda^2=0$
解得$\lambda=-3$或$\lambda=0$
（此处只能得到唯一解得解集，其余的需要代入讨论）
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当$\lambda\ne0$且$\lambda\ne-3$时，$r(A)=3=r(A|b)=3$，有唯一解
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当$\lambda=0$时
$(A|b)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 3 \ 1 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
$r(A)\ne r(A|b)$无解
- 当$\lambda=-3$时
$(A|b)=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 1 & 0 \ 1 & -2 & 1 & -3 \ 1 & 1 & -2 & -3\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -1 \ 0 & 1 & -1 & -2 \ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
$n-r=3-2=1$
$\xi=\begin{pmatrix}1 \ 1 \ 1\end{pmatrix},y=\begin{pmatrix}-1 \ -2 \ 0\end{pmatrix}$
$\therefore$通解为$y+k\xi\quad(k$为任意常数$)$