不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念

1. 原函数的定义

如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有$$F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx$$那么函数就称为的一个原函数

原函数存在定理：如果函数在区间上连续，那么在区间上存在可导函数，使对任一都有，简单说，连续函数一定有原函数

2. 不定积分的定义

在区间上，函数的带有任意项的原函数称为在区间上的不定积分，记作$$\int f(x)dx$$其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量

3. 不定积分与原函数的关系

• 如果是在区间上的一个原函数，那么就是的不定积分，即$$\int f(x)dx=F(x)$$
• 由于是的原函数，所以$$\frac d{dx}[\int f(x)dx]=f(x)或d[\int f(x)dx]=f(x)dx$$
• 由于是的原函数，所以$$\int F'(x)dx=F(x)+C或\int dF(x)=F(x)+C$$

二、不定积分的性质

• 设函数及的原函数存在，则$$\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$$
• 设函数的原函数存在，为非零常数，则$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$$

三、基本积分公式

例1：求积分

例2：求积分

例3：求积分

换元积分法

一、第一类换元法

设具有原函数，，有连续的导数，则$$\int f[\phi(x)]\phi'(x)dx=\int f[\phi(x)]d\phi(x)=F(\phi(x))+C$$

例1：求

例2：求

例3：求

例4：求

没有函数的导数等于，所以见到，一般作为整体

例5：求

、遇到奇数次方，拿出来一个凑积分；遇到偶数次方，利用公式降幂

例6：求

例7：求

例8：求

例9：求

二、第二类换元法

设函数是单调的可导的函数，并且，且有原函数，则$$\int f(x)dx\overset{x=\phi(t)}{=}\int f[\phi(t)]\phi'(t)dt$$

1. 三角换元

• 当被积函数中有，令，则
• 当被积函数中有，令，则
• 当被积函数中有，令，则

2. 根式换元

当被积函数中含有积不出来的根式，可以用根式换元。可用于，此处都可以为。见例14

3. 倒代换

当被积函数是有理式，且分母的次方数高于分子的时候（高于次及以上），可以用倒代换，令

例10：求

令

例11：求

令

例12：求

对例11的应用。注意将看做整体，也要换成

例13：求

对例2的应用

例14：求

令

三、几个重要的推广

分部积分法

设函数u=u(x)与v=v(x)具有连续导数，则两个导数的公式为(uv)'=u'v+uv'，移项得$$uv'=(uv)'-u'v$$对其两边求不定积分得到分部积分的公式，即$$\int uv'dx=uv-\int u'vdx或\int udv=uv-\int vdu$$分部积分的方法是用于做被积函数有两类函数的题目，按照”反对幂指三“或”反对幂三指“的顺序（记住一个就行），谁靠后谁先凑微分（凑v）

例1：求

若被积函数只有反三角函数或对数函数时，直接分部积分

例2：求

循环积分：对于被积函数有三角函数与指数函数相乘时，将谁先凑微分，就对谁一直凑微分

故

例3：求

循环积分

有理函数积分

多项式的积分

被积函数是两个多项式的商称为有理函数，又称为有理分式，当分子多项式的次数小于分母多项式的次数时，称这个有理函数为真分式，否则为假分式

做法：

1. 如果是假分式，先将假分式化为一个多项式与一个真分式加和的形式，如果被积函数是真分式，则直接进行第二步
2. 将分母因式分解，分解成两个及以上多项式的乘积，之后将真分式拆成两个真分式之和，即，之后分别积分

例1：求

例2：求

万能公式

碰到被积函数只有三角函数和常数的

令

例3：求

令