定积分的概念与性质

一、定积分的定义

设函数在上有界，在中任意插入若干个分点，把区间分成个小区间，各个小区间的长度依次为；（区间分段）

在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度乘积并作出和，记（每一段再求和）

如果当，若极限存在，且此极限值既不依赖于区间的分法，也不依赖于点的取法，则称在区间上可积，并称此极限为在区间上的定积分，记作，即

其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间（取极限）

二、定积分的几何意义

• 设存在，若在上，则的值等于以曲线及轴所围成的曲边梯形的面积
• 设存在，若在上，则的值等于以曲线及轴所围成的曲边梯形的面积的负值
• 设存在，若在上的值有正有负，则的值等于轴上方的面积减去轴下方的面积之差

三、定积分的定义求极限

如果积分存在，则，且极限与的取法和区间分法无关，因为如果积分存在，就可以将其在上等分，此时，取，有定积分的定义得

一些个人理解中即对应中的，同时将整除意味着将分成份，即积分区间为，对应

例1：求

见到可能使用定积分的定义求极限的，先提一个出来，后面留的只能有常数项以及（由于等价于自变量，因此可以有系数、指数，可以在三角函数内等）

四、可积的充分条件

• 设函数在区间上连续，则在上可积
• 设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在上可积（存在有界震荡间断点的函数可积）

五、定积分的性质

定理1：设与均为常数，则

定理2：设，则

定理3：如果在区间上，那么

定理4：如果在区间上，那么

推论1：如果在区间上，那么

即证

由性质1得

在区间上，

由性质4得

故

推论2：

由推论1知

估值定理：设和分别是函数在区间上的最大值及最小值，则

在上，有最大值，最小值

故，

由推论1知，

由性质1和3得，

定积分中值定理：如果函数在积分区间上连续，那么在上至少存在一个点，使下式成立：

由估值定理得

由介值定理得，存在一点，使得

即

微积分的基本公式

一、积分上限函数及其导数

1. 定义

设函数在区间上连续，且为上可以任意移动的一点，我们称为变上限积分

2. 性质

• 如果函数f(x)在区间上连续，那么积分上限的函数在上可导，并且它的导数
• 如果函数在区间上连续，那么函数就是在区间上的一个原函数

二、牛顿-莱布尼茨公式

微积分基本定理：如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，那么，该公式叫做牛顿-莱布尼茨公式，也叫作微积分基本公式

例1：设在内连续且，证明函数在内为单调增加函数

其中

的积分区间上限大于下限，因此；被积函数。因此

故，即

证毕

上下限含有关于x的函数的积分的导数

例2：计算

定积分的换元法和分部积分法

一、定积分的换元法

假设函数在区间上连续，函数满足条件

• 
• 在，且其值域

则有，即为定积分的换元公式

例1：计算

令（注意也要换成）

当时，，当时，

例2：计算

1. 奇偶函数对称区间的定积分结论

• 若在上连续且为偶函数，则
• 若在上连续且为奇函数，则

偶函数的证明：

其中

因此

证毕

奇函数的证明：

其中

因此

证毕

2. 三角函数的定积分结论

设在上连续

• 
• 

一般只用于只有和的函数中

区间再现公式

即当令积分上限积分下限对谁的微分，换元后的积分区间与原积分区间相同

证明1：

令

证毕

证明2：

故

证毕

例3：求

3. 周期函数的定积分结论

设为连续的周期函数，周期为

• 
• 

证明1：

法1

将看做是关于的函数，二者相等，即函数为常数，导数为

设

故

故

即

证毕

法2

从原积分区间拆出结果的积分区间，剩余部分和为

故

证毕

证明2：

故由可知，

故

证毕

例4：求

例5：求

一般见到分式，分子或分母都有未知数，且至少其中一个有一般需要三角换元；对于根式还可能整体换元

二、定积分的分部积分法

依据不定积分的分部积分法，可得

简记作

华里式公式（点火公式）

证明：

代入即可得到原式

证毕

和差化积公式

例6：求

反常积分

一、无穷限的反常积分

定义1：设函数在区间上连续，如果极限存在，那么称反常积分收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分发散

定义2：设函数在区间上连续，如果极限存在，那么称反常积分收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分发散

定义3：设函数在区间上连续，如果反常积分与反常积分均收敛，那么反常积分收敛，并称反常积分与反常积分的值之和为反常积分的值，否则就称反常积分发散

根据定义3，是错误的，因为

例1：计算反常积分

因此

幂函数的反常积分结论无穷型

反常积分，当时收敛，当时发散

证明：

当时，，发散

当时

故当时收敛，当时发散

无界函数的反常积分

定义1：设函数在区间上连续，点为的瑕点，如果极限存在，那么称反常积分收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分发散

定义2：设函数在区间上连续，点为的瑕点，如果极限存在，那么称反常积分收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分发散

定义3：设函数在区间及区间上连续，点为的瑕点，如果反常积分与反常积分均收敛，那么称反常积分收敛，并称反常积分的值与反常积分的值之和为反常积分的值，否则，就称反常积分发散

根据定义3：是错误的，因为

例2：讨论反常积分的收敛性

注意此处不满足幂函数的反常积分结论1的条件

故反常积分发散

幂函数的反常积分结论瑕点型

反常积分当时收敛，当时发散

证明：

当时，，发散

当时

证毕

例3：求反常积分

法1

观察到分母是，分子是所以考虑倒代换

令

法2

分母有根式，而且不容易积出来，考虑根式换元

令

令

上式

反常积分审敛法

一、无穷限反常积分审敛法

定理1：设函数在区间上连续，且，若函数在上有上界，则反常积分收敛

证明：

即单调递增

又在有上界

由单调有界准则知，有极限

证毕

定理2（比较审敛原理）：设函数在区间上连续，如果，并且收敛，那么也收敛；如果，并且发散，那么也发散

证明：

取

有

又有上界

由定理1和反常积分收敛

定理3（比较审敛法1）：设函数在上连续，且，如果存在常数及，使得，那么反常积分；如果存在常数，使得，那么反常积分发散

例1：判定反常积分的收敛性

故收敛

定理4（极限审敛法1）：设函数在区间上连续，且，如果存在常数，使得，那么反常积分收敛；如果（或），那么反常积分发散

证明：

，显然与敛散性相同，收敛，因此收敛

例2：判定反常积分的收敛性

（此处是根据凑出来的）

收敛

证毕

例3：判定反常积分的收敛性

发散

故发散（不一定必须要乘来证明发散）

定理5：设函数在区间上连续，如果反常积分收敛，那么反常积分也收敛

证明：

令

知且

收敛

由比较审敛法知，收敛

又

故收敛

证毕

二、无界函数的反常积分的审敛法

定理6（比较审敛法2）：设函数在区间上连续，且为的瑕点，如果存在常数及，使得，那么反常积分收敛；如果存在常数，使得那么反常积分发散

定理7（极限审敛法2）：设函数在区间上连续，且，为的瑕点，如果存在常数，使得存在，那么反常积分收敛；如果（或），那么反常积分发散

例4：判定反常积分的收敛性

收敛

根据比较审敛法知，收敛

根据定理5，收敛