函数 一、函数的概念 定义：设数集，则映射为定义在上的函数通常记为，其中称为自变量，称为因变量，称作定义域，记作 二、几类重要的函数 1.复合函数 定义：设函数的定义域为，函数的定义域为，且其值域，则由下式确定的函数与，称为由函数与函数构成的复合函数，他的定义域为，变量称为中间变量 2.反函数 定义：设函数为单射（一个对应一个，一个也对应一个），则它存在逆映射，则此映射为函数的反函数。（函数与反函数都是为自变量，是因变量的函数） 补充：若的反函数为，则与关于对称 例1：求函数在区间上的反函数 只有单调区间才有反函数，如果不单调就分区间找 当时 故反函数为 当时 反函数为 3.初等函数...

导数的概念 一、导数的概念 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应的因变量取得增量；如果与之比当时极限存在，那么称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 也可记作，或 导数的定义式有两种不同的形式 例1：求函数的导数 当n=1时 当n>1时 例2：求幂函数的导数 例3，求函数的导数 例4：求函数的导数 二、单侧导数 左导数： 右导数： 左导数和右导数统称为单侧导数 函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等 注意：。前者是导函数的左极限，后者是左导数 总结来说，左右导数，是函数左右段的实际导数值，...

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。 微分中值定理 一、费马引理 设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有 那么 证明： 设，则，有 当时 又在处可导，，则，证毕 二、罗尔定理 如果函数满足： 在闭区间上连续 在开区间内可导 在区间端点处的函数值相等，即 那么在内至少有一点，使 证明： 在闭区间上连续，由闭区间上最值定理得 在上必有最大值，最小值 当时，则在上必有，则对于，有，对，有 当时，，至少有一个和在内部取得 假设在取得， ，有，由费马引理得，，证毕 例1：若函数在内具有二阶导数，且，其中，证明：在至少有一点，使得 在上连续，在内可导，且 由罗...

不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 1.原函数的定义 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有$$F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx$$那么函数就称为的一个原函数 原函数存在定理：如果函数在区间上连续，那么在区间上存在可导函数，使对任一都有，简单说，连续函数一定有原函数 2.不定积分的定义 在区间上，函数的带有任意项的原函数称为在区间上的不定积分，记作$$\intf(x)dx$$其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量 3.不定积分与原函数的关系 如果是在区间上的一个原函数，那么就是的不定积分，即$$\intf(x)dx=F(x)$$ ...

定积分的概念与性质 一、定积分的定义 设函数在上有界，在中任意插入若干个分点，把区间分成个小区间，各个小区间的长度依次为；（区间分段） 在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度乘积并作出和，记（每一段再求和） 如果当，若极限存在，且此极限值既不依赖于区间的分法，也不依赖于点的取法，则称在区间上可积，并称此极限为在区间上的定积分，记作，即 其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间（取极限） 二、定积分的几何意义 设存在，若在上，则的值等于以曲线及轴所围成的曲边梯形的面积 设存在，若在上，则的值等于以曲线及轴所围成的曲边梯形的面积的负值 设存...

定积分的几何应用 一、平面图形的面积 1.直角坐标 由曲线及直线与轴所围成的曲面梯形的面积是定积分 由曲线及直线与轴所围成的曲面梯形的面积是定积分 由曲线及直线与轴所围成的曲面梯形的面积是定积分 由曲线及直线与轴所围成的曲面梯形的面积是定积分 例1：计算抛物线：所围成图形的面积 一定要画图（本节笔记都有图，其他笔记如有必要会进行展示） 导包以及直角坐标系的通用设置（不同会特别说明） importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltplt.rcParams['figure.figsize']=(8,6)ax=plt.gca()ax.spines[...

微分方程的基本概念 微分方程：含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶 微分方程的解：找出这样的一个函数，把这个函数带入微分方程使该方程称为恒等式，这个函数就叫做微分方程的解 微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。即几阶微分方程，通解中就会有几个任意常数 初值条件：由于通解中含有任意常数，为了确定任意常数的值，引入初值条件，例如：如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是，如果微分方程是二阶的，...

向量及其线性运算 一、向量的加减法 设有两个向量与，任取一点，作，再以为起点，作，连接，那么向量称为向量与的和，记作，即，上述两向量之和的方法叫做向量相加的三角形法则 运算规律 交换律： 结合律： 二、向量与数的乘法 向量与实数的乘积记作，规定是一个向量，它的模为，当时，与相同，当，与相反，当时，，即为零向量，此时它的方向是任意的 运算规律 结合律： 分配律：； 三、利用坐标作向量的线性运算 设，即，利用向量加法的交换律与结合律以及向量与数的乘法的结合律与分配律，得 即 定理1：当向量，若向量，则，即向量与向量的坐标成比例 四、向量的模、方向角 1.向量的模与两点间...

多元函数的基本概念 一、多元函数的极限 1.二元函数的定义 设是平面上的一个点集，若对每个点，变量按照某一对应法则f有一个确定的值与之对应，则称为的二元函数，记为，其中点集称为该函数的定义域，称为自变量，称为因变量，函数的全体所构成的集合称为函数的值域，记为 通常情况下，二元函数在几何上表示一张空间曲面 2.二元函数的极限 设函数在区域上有定义，点或为的边界点，如果，存在，当，且时，都有成立，则称常数为函数当时的极限，记为或或 例1：求 法1（凑）： 原式 法2（等价无穷小）： 原式 二、多元函数的连续性 1.二元函数连续性的概念 设二元函数的定义域为。为上的点，如果，那么称函数在点连续...

二重积分的概念与性质 一、二重积分的定义 设$f(x,y)$是有界闭区域$D$上的有界函数，将闭区域$D$任意分成$n$哥小闭区域$\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\cdots,\Delta\sigma_n$，其中$\Delta\sigma_i$表示第$i$个小闭区域，也表示它的面积，在每个$\Delta\sigma_i$上任取一点$(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i\quad(i=1,2,3,\cdots,n)$，并作和$\sum^{n}{i=1}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$，如果当各小闭区域的直径中的最大值$...

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。 对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的定义 设$L$为$xOy$面内的一条光滑曲线弧，函数$f(x,y)$在$L$上有界，在$L$上任意插入一点列$M_1,M_2,\cdots,M_n-1$，把$L$分成$n$个小段，设第$i$个小段的长度为$\Deltas_i$，又$(\xi_i,\eta_i)$为第$i$个小段上任意取定的一点，作乘积$f(\xi_i,\eta_i)\Deltas_i\quad(i=1,2,\cdots,n)$，并作和$\sum^n_{i=1}f(\xi_i,\eta_i)\Deltas_i$，如果当各校弧段的长度的最...

常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 定义：如果级数$\sum^\infty_{i=1}u_i$的部分和数列${s_n}$有极限$s$，即$\lim_{n\to\infty}s_n=s$，那么称无穷级数$\sum^\infty_{i=1}u_i$收敛，这时极限$s$叫做这级数的和，并写成$s=u_1+u_2+\cdots+u_i+\cdots$；如果${s_n}$没有极限，那么称无穷级数$\sum^\infty_{i=1}u_i$发散   例1：判断无穷级数$\frac1{1\cdot2}+\frac2{2\cdot3}+\cdots+\fracn{n\cdot(n+1)}+...

二阶与三阶行列式 一、二阶行列式 记为$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\\end{vmatrix}$，其中数$a_{ij}(i=1,2;j=1,2)$称为上面行列式的元素或元，元素$a_{ij}$的第一个下标$i$称为行标，表名该元素在第$i$行，第二个下标$j$为列标，表明该元素位于第$j$列。位于第$i$行第$j$列的元素称为上面行列式的$(i,j)$元   例1：求$\begin{vmatrix}3&5\1&6\end{vmatrix}$的值 $\begin{vmatrix}3&5\1...

矩阵 一、矩阵的定义 已知$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\a_{21}&a_22&\cdots&a_2\\vdots&\vdots& &\vdots\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$，这$m\timesn$个数称为矩阵$A$的元素，简称为元，数$a_{ij}$位于矩阵$A$的第$i$行第$j$列，称为矩阵$A$的$(i,j)$元。以数$a_{ij}$为$(i,j)$元的矩阵可简记作...

矩阵的初等变换 一、初等变换 1.初等变换的定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 对调两行（对调$i,j$两行，记作$r_{i}\leftrightarrowr_j$ 以数$(k\ne0)$乘某一行中的所有元素（第$i$行乘$k$，记作$r_{i}\timesk$） 把某一行所有元素的$k$倍加到另一行对应的元素上去（第$j$行的$k$倍加到第$i$行，记作$r_{i}+kr_{j}$）   把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“$r$“换成”$c$“）。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换   2.行最简形矩阵的定义 非零行的第...

向量组及其线性组合 一、向量 定义：$n$个有次序的数$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$所组成的数组称为$n$维向量，这$n$个数称为该向量的$n$个分量，第$i$个数$a_{i}$称为第$i$个分量   向量可以使行向量，也可以是列向量   二、线性表示 1.线性组合的定义 给定向量组$A:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}$，对于任何一组实数$k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}$，表达式$k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\cdots+k_{m}a_{m}$称为向量组$A$的一个线性组合，$k_{1},k_{2},...

方阵的特征值与特征向量 $A$是$n$阶方阵，如果对于数$\lambda$，存在非零向量$\alpha$，使得$A\alpha=\lambda\alpha\quad(\alpha\ne\boldsymbol{0})$成立，则称$\lambda$是$A$的特征值，$\alpha$是$A$的对应于$\lambda$的特征向量   性质： 不同特征值的特征向量线性无关 任取特征值$\lambda$，线性无关的特征向量的个数$\leq\lambda$的重数 $A$的特征值为$\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}$，则$\begin{cases}|A|=\lambda...

随机试验、样本空间与随机事件 一、随机试验的概念 可以在相同的条件下重复进行 每次试验结果可能不止一个，并且能事先明确试验所有可能结果 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现   我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验   二、样本空间的概念 对于随机事件，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果组成的集合是一已知的，我们将试验所有结果组成的集合称为样本空间，样本空间的元素，即每个试验结果称为样本点   三、随机事件的概念 一般地，我们称试验样本空间的子集为试验的随机事件，简称事件，一个样本点组成的单点集，称为基本事件，如果样本空间中包含的...

离散型随机变量 一、定义 当随机变量的取值为有限个或者可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量   二、性质 $p_{i}\geq0,\quadi=1,2,\cdots$ 规范形：$\sum\limits^{\infty}{i=1}p{i}=1$   三、表示方法 $P{X=x_{i}}=p_{i},\quadi=1,2,\cdots$ 列表法   四、三种重要的离散型随机变量 1.$0-1$分布 设随机变量$X$只可能取$0$与$1$两个值，它的分布律为$P{X=1}=p,P{X=0}=1-p$   2.二项分布 如果随机变量$X$的分布律...

二维随机变量 一、二维随机变量的定义 设$E$是一个随机变量，它的样本空间是$S={e}$，设$X=X(e)$和$Y=Y(e)$是定义在$S$上的随机变量，由它们构成一个向量$(X,Y)$叫做二维随机变量   二、分布函数的定义 设$(X,Y)$是二维随机变量，对于任意实数$x,y$，均存在二元函数$F(x,y)=P{(X\leqx)\cap(Y\leqy)}$记作$P{X\leqx,Y\leqy}$，故将$F(x,y)$称为二维随机变量$(X,Y)$的分布函数，或称为随机变量$X$和$Y$的联合分布函数   三、分布函数的性质 1.单调不减 任意固定$y$，当$x_{2}...