矩阵
一、矩阵的定义
已知$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_22 & \cdots & a_2 \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}$,这$m\times n$个数称为矩阵$A$的元素,简称为元,数$a_{ij}$位于矩阵$A$的第$i$行第$j$列,称为矩阵$A$的$(i,j)$元。以数$a_{ij}$为$(i,j)$元的矩阵可简记作$(a_{ij})$或$(a_{ij}){m\times n}$,$m\times n$的矩阵$A$也记作$A{m\times n}$
当两个矩阵的行数相同,列数也相同时,则称它们是同型矩阵
二、线性变换的定义
$n$个变量$x_1,x_2,\cdots,x_n$与$m$个变量$y_1,y_2,\cdots,y_n$之间的关系式$\begin{cases}y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n\y_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n\\cdots\y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n\end{cases}$表示从一个变量$x_1,x_2,\cdots,x_n$到变量$y_1,y_2,\cdots,y_m$的线性变换,其中$a_{ij}$为常数,线性变换的系数$a_{ij}$构成矩阵$A=(a_{ij})_{m\times n}$
三、几种特殊的矩阵
1. 零矩阵
元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作$O$
2. 对角矩阵
$\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\0&\lambda_2&\cdots&0\\vdots&\vdots&&\vdots\0&0&\cdots&\lambda_n\end{pmatrix}$
这个方阵的特点是:不在对角线上的元素都是$0$,我们把这种方阵称为对角矩阵,简称对角阵,对角阵也记作$\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$
$\Lambda^n=\begin{pmatrix}\lambda_1^n&0&\cdots&0\0&\lambda_2^n&\cdots&0\\vdots&\vdots&&\vdots\0&0&\cdots&\lambda_n^n\end{pmatrix}$
3. 单位矩阵
我们把$E=\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix}$
这个方阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做(主)对角线)上的元素都是$1$,其他元素都是$0$
矩阵的运算
一、矩阵的加法
1. 定义
设有两个$m\times n$矩阵$A=(a_{ij}))$和$B=(b_{ij})$(同型矩阵),那么矩阵$A$与$B$的和记作$A+B$,规定为$A+B=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}$
2. 运算规律
矩阵加法满足下列运算规律(设$A,B,C$都是$m\times n$矩阵)
-
$A+B=B+A$
-
$(A+B)+C=A+(B+C)$
二、数与矩阵相乘
1. 定义
数$\lambda$与矩阵$A$的乘积记作$\lambda A$或$A \lambda$,规定为$\lambda A=A \lambda=\begin{pmatrix}\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}\end{pmatrix}$
2. 运算规律
数乘矩阵满足下列运算规律(设$A,B$为$m\times n$矩阵,$\lambda,\mu$为数)
-
$(\lambda \mu)A=\lambda(\mu A)$
-
$(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$
-
$\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$
三、矩阵与矩阵相乘
1. 定义
设$A=(a_{ij})$是一个$m\times s$矩阵,$B=(b_{ij})$是一个$s\times n$矩阵,那么规定矩阵$A$与矩阵$B$的乘积是一个$m\times n$矩阵$C=(c_{ij})$,其中$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj},(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$并把乘积记作$C=AB$
2. 运算规律
矩阵的乘法满足下列结合律和分配律(假设运算都是可行的)
-
$(AB)C=A(BC)$
-
$\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$
-
$A(B+C)=AB+AC$
注意$AB\ne BA$
四、矩阵的转置
1. 定义
把矩阵$A$的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做$A$的转置矩阵,记作$A^T$
可以看做以主对角线为对称轴,翻转矩阵
2. 运算规律
矩阵的转置满足下列运算规律(假设运算都是可行的)
-
$(A^T)^T=A$
-
$(A+B)^T=A^T+B^T$
-
$(\lambda A)^{T=\lambda}A^T$
-
$(AB)^T=B^TA^T$
五、方阵的行列式
1. 定义
由$n$阶方阵$A$的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵$A$的行列式,记作$|A|$或$\det A$
2. 运算规律
由$A$确定$|A|$的这个运算满足下列运算规律(设$A,B$为$n$阶方阵,$\lambda$为数)
-
$|A^T|=|A|$
-
$|\lambda A|=\lambda^n|A|$
-
$|AB|=|A||B|$
逆矩阵
一、逆矩阵的定义
定义:对于$n$姐矩阵$A$,如果有一个$n$阶矩阵$B$,使$AB=BA=E$,则说矩阵$A$是可逆的,并把矩阵$B$称为矩阵$A$的逆矩阵,简称逆阵。$A$的逆阵记作$A^{-1}$,即若$AB=BA=E$,则$B=A^{-1}$
二、性质
-
若矩阵$A$可逆,则$|A|\ne0$
-
若$|A|\ne0$,则矩阵$A$可逆,且$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^$,其中$A^$为矩阵$A$的伴随阵,即$A^=\begin{pmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}$(该式由$AA^=|A|E$推出)
-
若$AB=E$(或$BA=E$),则$B=A^{-1}$
三、充要条件
$A$是可逆矩阵的充分必要条件是$|A|\ne0$,即可逆矩阵就是非奇异矩阵
四、运算规律
方阵点的逆矩阵满足下列运算规律
-
若$A$可逆,则$A^{-1}$亦可逆,且$(A^{-1})^{-1}=A$
-
若$A$可逆,数$\lambda\ne 0$,则$\lambda A$可逆,且$(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$
-
若$A,B$为同阶矩阵且均可逆,则$AB$以亦可逆,且$(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$
例1:设$P=\begin{pmatrix}1 & 2 \ 1 & 4\end{pmatrix},\Lambda=\begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 2\end{pmatrix},AP=P \Lambda$,求$A^n$
$|P|=2\ne0$,故$P$为可逆矩阵
有$A=P \Lambda P^{-1}$
$A^{n}=P \Lambda P^{-1}\cdot P \Lambda P^{-1}\cdots P \Lambda P^{-1}=P \Lambda^{n}P^{-1}$
$P^*=\begin{pmatrix}4 & -2 \ -1 & 1\end{pmatrix}$
$\therefore P^{-1}=\frac{P^{*}}{|P|}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4 & -2 \ -1 & 1\end{pmatrix}$
$\therefore A^{n}=P \Lambda P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4-2^{n+1} & -2+2^{n-1} \ 4-2^{n+2 } & -2+2^{n+2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-2^{n} & 2^{n}-1 \ 2-2^{n+1} & 2^{n+1}-1\end{pmatrix}$
矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
定义 :我们将矩阵$A$用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为$A$的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵
例1:设$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ -1 & 2 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \ -1 & 2 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 4 & 1 \ -1 & -1 & 2 & 0\end{pmatrix}$,求$AB$
$A=\begin{pmatrix}E & 0 \ A_{1} & E\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}B_{11} & E \ B_{21} & B_{22}\end{pmatrix}$
$AB=\begin{pmatrix}EB_{11}+0\cdot B_{21} & EE+0\cdot B_{22} \ A_{1}B_{11}+EB_{21} & A_{1}E+EB_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}B_11 & E \ A_{1}B_{11}+B_{21} & A_{1}+B_{22}\end{pmatrix}$
$A_{1}B_{11}+B_{21}=\begin{pmatrix}-2 & 4 \ -1 & 1\end{pmatrix}$
$A_1+B_{22}=\begin{pmatrix}3 & 3 \ 3 & 1\end{pmatrix}$
故$AB=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \ -1 & 2 & 0 & 1 \ -2 & 4 & 3 & 3 \ -1 & 1 & 3 & 1\end{pmatrix}$
例2:证明矩阵$A=O$的充分必要条件是方阵$A^TA=O$
必要性:
$\because A=O\quad \therefore A^{TA=O\cdot}O=O$
充分性:
设$A_{m\times n}=\begin{pmatrix}\alpha_{1} & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\end{pmatrix}$,其中$\alpha_{i}=\begin{pmatrix}a_{1i} \ a_{2i} \ \vdots \ a_{ni}\end{pmatrix}$
$A^TA=\begin{pmatrix}\alpha_{1}^T \ \alpha_{2}^T \ \cdots\\alpha_{n}^T\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_{1}^{T}\alpha_{1} &\alpha_{1}^{T}\alpha_{2} & \cdots & \alpha_{1}^{T}\alpha_{n} \ \alpha_{2}^{T}\alpha_{1} & \alpha_{2}^{T}\alpha_{2} & \cdots & \alpha_{2}^{T}\alpha_{n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ \alpha_{n}^{T}\alpha_{1} & \alpha_{n}^{T}\alpha_{2} & \cdots & \alpha_{n}^{T}\alpha_{n} \end{pmatrix}=O$
又$\because A^TA=0$
$\therefore \alpha_{i}^{T}\alpha_{j}=0\quad(i,j=1,\cdots,n)$
当$i=j$时,即$\alpha_{i}^{T}\alpha_{i}=0$
又$\because \alpha_{i}=\begin{pmatrix}a_{1i} \ a_{2i} \ \vdots \ a_{ni}\end{pmatrix}$
$\alpha_{i}^{T}\alpha_{i}=\begin{pmatrix}a_{1i} & a_{2i} & \cdots & a_{ni}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1i} \ a_{2i} \ \vdots \ a_{ni}\end{pmatrix}=a_{1i}^{2}+a_{2i}^{2}+\cdots+a_{ni}^{2}=0$
$\therefore a_{1i}=a_{2i}=\cdots=a_{ni}=0$
$\therefore \alpha_{i}=O\quad(i=1,2,\cdots,n)$
$\therefore A=O$